Upper bounds for ergodic sums of infinite measure preserving transformations

Abstract

For certain conservative, ergodic, infinite measure preserving transformations <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we identify increasing functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for which <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit sup StartFraction 1 Over upper A left-parenthesis n right-parenthesis EndFraction sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts f ring upper T Superscript k Baseline equals integral Underscript upper X Endscripts f d mu a period e period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∘<!-- ∘ --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>a</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>.e</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>.</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\limsup \limits _{n \to \infty } \frac {1} {{A(n)}}\sum \limits _{k = 1}^n {f \circ } {T^k} = \int _X {fd\mu } \quad {\text {a}}{\text {.e}}{\text {.}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> holds for any nonnegative integrable function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In particular the results apply to some Markov shifts and number-theoretic transformations, and include the other law of the iterated logarithm.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF