Note on counterexamples in strong unique continuation problems

Abstract

There are smooth functions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript d"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}^d}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vanishing to infinite order at a point and satisfying the differential inequality <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue normal upper Delta u EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to upper V StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|\Delta u| \leq V|u|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V element-of"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V \in</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> weak <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript d slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^{d/2}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V element-of upper L Superscript 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V \in {L^1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d = 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF