Kaehler structures on 𝐾_{𝐂}/(𝐏,𝐏)

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a compact connected semi-simple Lie group, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G equals upper K Subscript bold upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G = K_{\mathbf C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G equals upper K upper A upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G = KAN</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an Iwasawa decomposition. To a given <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-invariant Kaehler structure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega"> <mml:semantics> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, there corresponds a pre-quantum line bundle <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf L}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Following a suggestion of A.S. Schwarz, in a joint paper with V. Guillemin, we studied its holomorphic sections <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper O left-parenthesis bold upper L right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal O}({\mathbf L})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-representation space. We defined a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-invariant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-structure on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper O left-parenthesis bold upper L right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal O}({\mathbf L})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript omega Baseline subset-of script upper O left-parenthesis bold upper L right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_\omega \subset {\mathcal O}({\mathbf L})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the space of square-integrable holomorphic sections. Then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript omega"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_\omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a unitary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-representation space, but not all unitary irreducible <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-representations occur as subrepresentations of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript omega"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_\omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This paper serves as a continuation of that work, by generalizing the space considered. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Borel subgroup containing <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, with commutator subgroup <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper B comma upper B right-parenthesis equals upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(B,B)=N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Instead of working with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash upper N equals upper G slash left-parenthesis upper B comma upper B right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/N = G/(B,B)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we consider <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash left-parenthesis upper P comma upper P right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/(P,P)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for all parabolic subgroups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We carry out a similar construction, and recover in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript omega"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_\omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the unitary irreducible <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-representations previously missing. As a result, we use these holomorphic sections to construct a model for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: a unitary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-representation in which every irreducible <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-representation occurs with multiplicity one.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF