Structures Riemanniennes L p et K-Homologie

Abstract

We construct analytically the signature operator for a new family of topological manifolds.This family contains the quasi-conformal manifolds and the topological manifolds modeled on germs of homeomorphisms of R n possessing a derivative which is in L p , with p > 1 2 n(n + 1).We obtain an unbounded Fredholm module which defines a class in the K-homology of the manifold, the Chern character of which is the Hirzebruch polynomial in the Pontrjagin classes of the manifold.This generalizes previous works of N. Teleman for Lipschitz manifolds and of A. Connes, N. Teleman and D. Sullivan for quasi-conformal manifolds of even dimension [11], [5].Théorème.Il existe N ≥ n ne dépendant que de g tel que:2) Si n est pair, l'opérateurDans tout les cas, l'opérateur D obtenu est unique à homotopie non bornée près.Cet opérateur détermine une classe de la K-homologie de V , dont le caractère de Chern est égal, via la dualité de Poincaré, au polynôme d'Hirzebruch en les classes de Pontryagin rationnelles de V .Le plan de ce travail est le suivant: nous démontrons d'abord ce résultat dans 1) pour le cas où V est le tore de dimension n ≥ 1 et pour une métrique riemannienne vérifiant la condition ci-dessus.Ceci permet ensuite de passer au cas général dans 2).Dans 3) et 4), nous décrivons les applications en Kthéorie aux variétés topologiques quasi-conformes ou bien dérivable d'ordre strictement supérieur à 1 2 n(n + 1). 1. Métriques L p sur le tore Dans tout ce qui suit, n est un entier ≥ 1 fixé, m est la partie entière de n 2 et U un sous-ensemble ouvert relativement compact de R n .Etant donné un fibré vectoriel complexe E munie d'une structure hermitienne h et p ≥ 1,

Locations

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