Unbounded Solutions of Asymmetric Oscillator

Abstract

We obtain sufficient conditions for the existence of unbounded solutions of the following nonlinear differential equation<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msub><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>, </mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>, </mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>, </mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>max</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:math>are positive constants, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is continuous, bounded, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-periodic in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math>for some<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>.

Locations

• Project Euclid (Cornell University) - View - PDF
• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View
• Abstract and Applied Analysis - View - PDF