The structure of a nonlinear elliptic operator

Abstract

Consider the nonlinear Dirichlet problem <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 right-parenthesis minus normal upper Delta u minus lamda u plus u cubed equals g"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(1) - \Delta u - \lambda u + {u^3} = g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u colon normal upper Omega right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u:\Omega \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u vertical-bar partial-differential normal upper Omega equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u|\partial \Omega = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega subset-of double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo>⊂<!-- ⊂ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega \subset {\mathbb {R}^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> connected and bounded, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda Subscript i"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lambda _i}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i"> <mml:semantics> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th eigenvalue of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus normal upper Delta u"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- \Delta u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u vertical-bar partial-differential normal upper Omega equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u|\partial \Omega = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis i equals 1 comma 2 comma ellipsis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(i = 1,2, \ldots )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Define a map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript lamda Baseline colon upper H right-arrow upper H prime"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′<!-- ′ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_\lambda }:H \to H\prime</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript lamda Baseline left-parenthesis u right-parenthesis equals minus normal upper Delta u minus lamda u plus u cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_\lambda }(u) = - \Delta u - \lambda u + {u^3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for either the Sobolev space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W 0 Superscript 1 comma 2 Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis equals upper H equals upper H prime"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′<!-- ′ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">W_0^{1,2}(\Omega ) = H = H\prime</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-equal-to 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \leq 4)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or the Hölder spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 0 Superscript 2 comma alpha Baseline left-parenthesis normal upper Omega overbar right-parenthesis equals upper H"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_0^{2,\alpha }(\bar \Omega ) = H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 0 comma alpha Baseline left-parenthesis normal upper Omega overbar right-parenthesis equals upper H prime"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′<!-- ′ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^{0,\alpha }}(\bar \Omega ) = H\prime</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial \Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 2 comma alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^{2,\alpha }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ), and define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A colon upper H times double-struck upper R right-arrow upper H prime times double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′<!-- ′ --></mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A:H \times \mathbb {R} \to H\prime \times \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis u comma lamda right-parenthesis equals left-parenthesis upper A Subscript lamda Baseline left-parenthesis u right-parenthesis comma lamda right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A(u,\lambda ) = ({A_\lambda }(u),\lambda )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G colon double-struck upper R squared times upper E right-arrow double-struck upper R squared times upper E"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G:{\mathbb {R}^2} \times E \to {\mathbb {R}^2} \times E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the global cusp map given by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G left-parenthesis s comma t comma v right-parenthesis equals left-parenthesis s cubed minus t s comma t comma v right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G(s,t,v) = ({s^3} - ts,t,v)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F colon double-struck upper R times upper E right-arrow double-struck upper R times upper E"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F:\mathbb {R} \times E \to \mathbb {R} \times E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the global fold map given by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F left-parenthesis t comma v right-parenthesis equals left-parenthesis t squared comma v right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F(t,v) = ({t^2},v)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is any Fréchet space. <bold>Theorem 1</bold>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H equals upper H prime equals upper W 0 Superscript 1 comma 2 Baseline left-parenthesis normal upper Omega right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′<!-- ′ --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H = H\prime = W_0^{1,2}(\Omega )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, assume in addition that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-slanted-equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \leqslant 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. There exit <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and homeomorphisms <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta"> <mml:semantics> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the following diagram commutes:<disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row 1st Column upper H times left-parenthesis negative normal infinity comma lamda 1 plus epsilon right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon ModifyingBelow right-arrow With almost-equals Overscript alpha Endscripts 3rd Column a m p semicolon double-struck upper R squared times upper E 2nd Row 1st Column upper A down-arrow 2nd Column a m p semicolon 3rd Column a m p semicolon down-arrow upper G 3rd Row 1st Column upper H prime times left-parenthesis negative normal infinity comma lamda 1 plus epsilon right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon ModifyingBelow right-arrow With almost-equals Overscript beta Endscripts 3rd Column a m p semicolon double-struck upper R squared times upper E EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munderover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset="-.24em"> <mml:mo>≈<!-- ≈ --></mml:mo> </mml:mpadded> <mml:mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset=".15em"> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:mpadded> </mml:munderover> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">↓<!-- ↓ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">↓<!-- ↓ --></mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munderover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset="-.24em"> <mml:mo>≈<!-- ≈ --></mml:mo> </mml:mpadded> <mml:mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset=".15em"> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> </mml:mpadded> </mml:munderover> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {array}{*{20}{c}} {H \times ( - \infty ,{\lambda _1} + \varepsilon )} &amp; {\xrightarrow [ \approx ]{\alpha }} &amp; {{\mathbb {R}^2} \times E} \\ {A \downarrow } &amp; {} &amp; { \downarrow G} \\ {H’ \times ( - \infty ,{\lambda _1} + \varepsilon )} &amp; {\xrightarrow [ \approx ]{\beta }} &amp; {{\mathbb {R}^2} \times E} \\ \end {array}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> The analog for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript lamda"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_\lambda }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 1 greater-than lamda greater-than lamda 1 plus epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lambda _1} &gt; \lambda &gt; {\lambda _1} + \varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is also given. In a very strong sense this theorem is a perturbation result for the problem (1): As <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g"> <mml:semantics> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) are perturbed, it shows how the number of solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of (1) varies; in particular, that number is always <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than lamda 1 plus epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε<!-- ε --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda &gt; {\lambda _1} + \varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A point <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u element-of upper H"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u \in H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a fold point of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if the germ of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> at <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> equivalent to the germ of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> at <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(0,0)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (i.e. under homeomorphic coordinate changes in domain near <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and in range near <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis u right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A(u)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> becomes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>), and the singular set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SA</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the set of points at which <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> fails to be a local diffeomorphism. For larger values of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> our information is limited: <bold>Theorem 2</bold>. Consider the Sobolev case with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-slanted-equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \leqslant 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential normal upper Omega upper C Superscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω<!-- Ω --></mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial \Omega \,{C^\infty }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \in \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, (i) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i n t left-parenthesis upper S upper A right-parenthesis equals normal empty-set"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>int</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅<!-- ∅ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {int} (SA) = \emptyset</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (ii) there is a dense subset <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SA</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of fold points, and (iii) for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than lamda 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda &gt; {\lambda _2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SA</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> [resp., for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-slanted-equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \leqslant 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than lamda 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda &gt; {\lambda _2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper A minus normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SA - \Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>] is a real analytic submanifold of codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H times double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H \times \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> [resp., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SA</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>].

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF