Zeros of diagonal equations over finite fields

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the number of solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x 1 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">({x_1}, \ldots ,{x_n})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the equation (1) <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 1 right-parenthesis c 1 x 1 Superscript d 1 Baseline plus c 2 x 2 Superscript d 2 Baseline plus midline-horizontal-ellipsis plus c Subscript n Baseline x Subscript n Superscript d Super Subscript n Baseline equals c"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(1)\quad {c_1}x_1^{{d_1}} + {c_2}x_2^{{d_2}} + \cdots + {c_n}x_n^{{d_n}} = c</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> over the finite field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Subscript q"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{F_q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d Subscript i Baseline vertical-bar left-parenthesis q minus 1 right-parenthesis comma c Subscript i Baseline element-of upper F Subscript q Superscript asterisk Baseline left-parenthesis i equals 1 comma ellipsis comma n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{d_i}|(q - 1),{c_i} \in F_q^*(i = 1, \ldots ,n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c element-of upper F Subscript q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c \in {F_q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over d 1 EndFraction plus StartFraction 1 Over d 2 EndFraction plus midline-horizontal-ellipsis plus StartFraction 1 Over d Subscript n Baseline EndFraction greater-than b greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1} {{{d_1}}} + \frac {1} {{{d_2}}} + \cdots + \frac {1} {{{d_n}}} &gt; b \geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> for some positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b"> <mml:semantics> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we prove that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q Superscript b Baseline vertical-bar upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{q^b}|N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This result is an improvement of the theorem that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p vertical-bar upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p|N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> obtained by B. Morlaye [<bold>7</bold>] and also by J. R. Joly [<bold>3</bold>].

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF