On the Noncommutative Neutrix Product of Distributions

Abstract

Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E1"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E2"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>be distributions and let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E4"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>is a certain sequence converging to the Dirac-delta function<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E5"><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>. The noncommutative neutrix product<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E6"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:math>of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E7"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E8"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math>is defined to be the neutrix limit of the sequence<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E9"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>, provided the limit<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E10"><mml:mi>h</mml:mi></mml:math>exists in the sense that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E11"><mml:mrow><mml:mtext>N‐</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, for all test functions in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E12"><mml:mi>𝒟</mml:mi></mml:math>. In this paper, using the concept of the neutrix limit due to van der Corput (1960), the noncommutative neutrix products<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E13"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E14"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msub><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msub></mml:mrow></mml:math>are proved to exist and are evaluated for<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E15"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo></mml:mrow></mml:math>. It is consequently seen that these two products are in fact equal.

Locations

• Project Euclid (Cornell University) - View - PDF
• Abstract and Applied Analysis - View - PDF