On the cup product for groups

Abstract

For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> any group and trivial coefficients in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, a commutative ring, the authors analyze the kernel of the cup product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="union colon upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper G comma upper R right-parenthesis circled-times upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper G comma upper R right-parenthesis right-arrow upper H squared left-parenthesis upper G comma upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>∪<!-- ∪ --></mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊗<!-- ⊗ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\cup :{H^1}\left ( {G,R} \right ) \otimes {H^1}\left ( {G,R} \right ) \to {H^2}\left ( {G,R} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by splicing it together with part of the six-term Hom-Ext exact sequence obtained from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 right-arrow upper I squared slash upper I cubed right-arrow upper I slash upper I cubed right-arrow upper I slash upper I squared right-arrow 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0 \to {I^2}/{I^3} \to I/{I^3} \to I/{I^2} \to 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF