Type: Article
Publication Date: 1978-01-01
Citations: 3
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1978-0481002-9
Let <italic>u</italic> be a subharmonic function of order <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda left-parenthesis 0 greater-than lamda greater-than 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda (0 > \lambda > 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m Subscript s Baseline left-parenthesis r comma u right-parenthesis equals left-brace left-parenthesis 1 slash 2 pi right-parenthesis integral Subscript negative pi Superscript pi Baseline StartAbsoluteValue u left-parenthesis r e Superscript i theta Baseline right-parenthesis EndAbsoluteValue Superscript s Baseline d theta right-brace Superscript 1 slash s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{m_s}(r,u)\, = \,{\left \{ {(1/2\pi )\int _{ - \pi }^\pi {{{\left | {u(r{e^{i\theta }})} \right |}^s}} d\theta } \right \}^{1/s}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We compare the growth of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m Subscript s Baseline left-parenthesis r comma u right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{m_s}(r,u)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with that of the Riesz mass of <italic>u</italic> as measured by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N left-parenthesis r comma u right-parenthesis equals left-parenthesis 1 slash 2 pi right-parenthesis integral Subscript negative pi Superscript pi Baseline u left-parenthesis r e Superscript i theta Baseline right-parenthesis d theta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫<!-- ∫ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N\,(r,u)\, = (1/2\pi )\int _{ - \pi }^\pi {u(r{e^{i\theta }})d\theta }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A typical result of this paper states that the following inequality is sharp: <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis asterisk right-parenthesis EndLabel limit inf Underscript x right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction m Subscript s Baseline left-parenthesis r comma u right-parenthesis Over upper N left-parenthesis r comma u right-parenthesis EndFraction less-than-or-slanted-equals m Subscript s Baseline left-parenthesis psi Subscript lamda Baseline right-parenthesis EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable side="left" displaystyle="false"> <mml:mlabeledtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>(</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>)</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">inf</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} \tag {$\ast $} \underset {x\to \infty }{\lim \,\inf }\,\,\frac {{{m}_{s}}\left ( r,\,u \right )}{N\left ( r,\,u \right )}\,\leqslant \,{{m}_{s}}\left ( {{\psi }_{\lambda }} \right )\end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi Subscript lamda Baseline left-parenthesis theta right-parenthesis equals left-parenthesis pi lamda slash sine lamda right-parenthesis cosine lamda theta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mi>θ<!-- θ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\psi _\lambda (\theta )\, = \,(\pi \lambda /\sin \,\lambda )\cos \,\lambda \theta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\, = \,1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is due to Edrei and Fuchs, the case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\, = \,2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is due to Miles and Shea and the case <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s equals normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\, = \,\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is due to Valiron.