Type: Article
Publication Date: 1987-01-01
Citations: 76
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1987-0866429-6
Suppose that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a smooth measure on a curve in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{R^3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is shown that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda asterisk upper L Superscript p Baseline left-parenthesis upper R cubed right-parenthesis subset-of upper L Superscript q Baseline left-parenthesis upper R cubed right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⊂<!-- ⊂ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda * {L^p}({R^3}) \subset {L^q}({R^3})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under certain conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda comma p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda ,p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.