Type: Article
Publication Date: 2002-01-01
Citations: 481
DOI: https://doi.org/10.1155/s0161171202007524
We analyze the existence of fixed points for mappings defined on complete metric spaces<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$(X,d)$" id="E1"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>satisfying a general contractive inequality of integral type. This condition is analogous to Banach-Caccioppoli's one; in short, we study mappings<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$f:X\rightarrow X$" id="E2"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>for which there exists a real number<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$c\in\, ]0,1[$" id="E3"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, such that for each<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$x,y \in X$" id="E4"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>we have<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\int_0^{d(fx,fy)}\varphi (t)dt\leq c\int_0^{d(x,y)}\varphi (t)dt$" id="E5"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\varphi:[0,+\infty[\rightarrow [0,+\infty]$" id="E6"><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>→</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>is a Lebesgue-integrable mapping which is summable on each compact subset of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$[0, +\infty[$" id="E7"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>, nonnegative and such that for each<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\varepsilon>0$" id="E8"><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\int_0^\varepsilon\varphi(t)dt>0$" id="E9"><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>ε</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>.