Continuity properties of the spectrum of operators on Lebesgue spaces

Abstract

Fix <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to p less-than-or-equal-to s less-than-or-equal-to normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 \leq p \leq s \leq \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript x Baseline comma x element-of left-bracket p comma s right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{T_x},x \in \left [ {p,s} \right ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, be the collection of bounded linear operators on the Lebesgue spaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript x"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^x}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> determined by some fixed operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This paper concerns continuity properties of the map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x right-arrow sigma left-parenthesis upper T Subscript x Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x \to \sigma \left ( {{T_x}} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF