Type: Article
Publication Date: 1991-01-01
Citations: 12
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1991-1081693-x
The Sendov conjecture asserts that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis z right-parenthesis equals product Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts left-parenthesis z minus z Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∏<!-- ∏ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(z) = \prod _{k = 1}^n(z - {z_k})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a polynomial with zeros <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z Subscript k Baseline EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left | {{z_k}} \right | \leq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then each disk <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z minus z Subscript k Baseline EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1 comma left-parenthesis 1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left | {z - {z_k}} \right | \leq 1,(1 \leq k \leq n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains a zero of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p prime left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p’(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This conjecture has been verified in general only for polynomials of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 2 comma 3 comma 4 comma 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n = 2,3,4,5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an extremal polynomial for this conjecture when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n = 6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, it is known that if a zero <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z Subscript j Baseline EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to lamda 6 equals 0.626997 ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0.626997</mml:mn> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left | {{z_j}} \right | \leq {\lambda _6} = 0.626997 \ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue z minus z Subscript j Baseline EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left | {z - {z_j}} \right | \leq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains a zero of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p prime left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p’(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (The conjecture for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n = 6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> would be proved if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 6 equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lambda _6} = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.) It is shown that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 6"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lambda _6}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be improved to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda 6 equals 63 slash 64 equals 0.984375"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>63</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>64</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0.984375</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\lambda _6} = 63/64 = 0.984375</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.