Integral inequalities of Hardy and Poincaré type

Abstract

The Poincaré inequality <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue u StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript p Baseline less-than-or-equal-to upper C StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue nabla u StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">||u|{|_p} \leq C||\nabla u|{|_p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a bounded domain holds, for instance, for compactly supported functions, for functions with mean value zero and for harmonic functions vanishing at a point. We show that it can be improved to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue u StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript p Baseline less-than-or-equal-to upper C StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue delta Superscript beta Baseline nabla u StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">||u|{|_p} \leq C||{\delta ^\beta }\nabla u|{|_p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta"> <mml:semantics> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the distance to the boundary, and the positive exponent <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta"> <mml:semantics> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> depends on the smoothness of the boundary.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF