Group actions and direct sum decompositions of 𝐿^{𝑝} spaces

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a locally compact group of measure preserving transformations on a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma"> <mml:semantics> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-finite measure space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma script upper B comma m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left ( {X,\mathcal {B},m} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Superscript 1 Baseline left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{M^1}\left ( G \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p greater-than normal infinity comma upper I Subscript p Baseline equals left-brace f colon f element-of upper L Superscript p Baseline left-parenthesis m right-parenthesis and Subscript g Baseline f equals f comma for all g element-of upper G right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext> and</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>for all </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 &gt; p &gt; \infty ,{I_p} = \left \{ {f:f \in {L^p}\left ( m \right ){\text { and}}{{\text { }}_g}f = f,{\text {for all }}g \in G} \right \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript p Baseline left-parenthesis upper S right-parenthesis equals StartSet f colon f element-of upper L Superscript p Baseline left-parenthesis m right-parenthesis and mu asterisk f equals f for all mu element-of upper S EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext> and </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext> for all </mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{I_p}\left ( S \right ) = \left \{ {f:f \in {L^p}\left ( m \right ){\text { and }}\mu * f = f{\text { for all }}\mu \in S} \right \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript p Baseline left-parenthesis upper S right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_p}\left ( S \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the closed subspace of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p Baseline left-parenthesis m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^p}\left ( m \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> generated by functions of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu asterisk f minus f"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu * f - f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper L Superscript p Baseline left-parenthesis m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f \in {L^p}\left ( m \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu element-of upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>μ<!-- μ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu \in S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Conditions are given on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which ensure that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript p Baseline equals upper I Subscript p Baseline left-parenthesis upper S right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{I_p} = {I_p}\left ( S \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and this is used to express <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p Baseline left-parenthesis m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^p}\left ( m \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as a direct sum of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{I_p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript p Baseline left-parenthesis upper S right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_p}\left ( S \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF