Type: Article
Publication Date: 1989-01-01
Citations: 6
DOI: https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1989-0984821-8
Self-adjointness is shown of the momentum operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet u element-of upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis bold upper R Superscript 1 Baseline right-parenthesis colon u slash x element-of upper L squared left-parenthesis bold upper R Superscript 1 Baseline right-parenthesis EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{ u \in {H^1}({{\mathbf {R}}^1}):u/x \in {L^2}({{\mathbf {R}}^1})\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, with domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet u element-of upper H Superscript 1 Baseline left-parenthesis bold upper R Superscript 1 Baseline right-parenthesis colon u slash x element-of upper L squared left-parenthesis bold upper R Superscript 1 Baseline right-parenthesis EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ {u \in {H^1}({{\mathbf {R}}^1}):u/x \in {L^2}({{\mathbf {R}}^1})} \right \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c > 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c greater-than negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c > - 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This operator appears in a harmonic oscillator system with the generalized commutation relations by Wigner: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i p equals left-bracket x comma upper H right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ip = [x,H]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus i x equals left-bracket p comma upper H right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- ix = [p,H]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for the Hamiltonian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the multiplication operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The proof is carried out by generation of a unitary group in terms of ip, based on the Hille-Yosida theorem and Stone’s theorem. The result is applied to the self-adjoitness of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H equals left-parenthesis p squared plus x squared right-parenthesis slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H = ({p^2} + {x^2})/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.