Hausdorff dimension of wild fractals

Abstract

We show that for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of left-bracket n minus 2 comma n right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s \in [n - 2,n]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there exists a homogeneously embedded wild Cantor set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript s"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n Baseline comma n greater-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n, n \geq 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, of (local) Hausdorff dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s"> <mml:semantics> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Also, it is shown that for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s element-of left-bracket n minus 2 comma n right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s \in [n - 2,n]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and for any integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k not-equals n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \ne n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to k less-than-or-equal-to s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 \leq k \leq s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, there exist everywhere wild <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-spheres and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-cells, in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n Baseline comma n greater-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n, n \geq 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, of (local) Hausdorff dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s"> <mml:semantics> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF