Adjoints of multipoint-integral boundary value problems

Abstract

The dual system to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L y equals y prime plus upper P y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Ly = y’ + Py</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript i equals 0 Overscript normal infinity Endscripts upper A Subscript i Baseline y left-parenthesis t Subscript i Baseline right-parenthesis plus integral Subscript 0 Superscript 1 Baseline upper K left-parenthesis t right-parenthesis y left-parenthesis t right-parenthesis d t equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum \limits _{i = 0}^\infty {{A_i}y({t_i}) + \int _0^1 {K(t)y(t)\;dt = 0} }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is found when the setting is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript n Superscript p Baseline left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis comma 1 greater-than p greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L_n^p(0,1),1 &gt; p &gt; \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF