La représentation des fonctions vectorielles par des intégrales de Laplace-Stieltjes, II

Abstract

Introduction.Le present travail a le but d'approfondir et de completer les resultants de mon ouvrage precedent [14].J'ai donne la bas des conditions necessaires et suffisantes pour la represantation des functions vectorielles f(s), deίinies pour s > 0 et a valeurs dans un espace de Banach X, par une _> ΛOO _> -î ntegrate de Laplace-Stieltjes, f(s) = J e~H da(t\ ou a(t) est une fonction vectorielle a valeurs dans X et definie pour 12> 0, appartenant a une des classes de fonctions vectorielles a variation bornee, Vj + , Vί + , V T G qui ont ete definies dans [14].(Des conditions necessaires et suffisantes pour la representation des fonctions vectorielles par des integrates de Laplace ont ete donnees par P. G. Rooney [11] et I. Miyadera [9]).Notre but principal dans [14] etait de montrer que si f(s) est indeίiniment fortement derivable et si on a Γ\\L k .u (f(.)-]\\du<;M, 4=1,2, -(nous avons dit qu'une telle fonction verifie la condition (A))-alors, si en plus X est un espace de Banach reflexif, il existe une fonction a(t) € VΓ (a variation forte bornee sur [0, °o] == I + \ telle que e -st da(t\ s > 0 (1).On prouvait ainsi une assertion de E.Hille ([5]-fin du § 1, Ch. X).Dans le present ouvrage on montre que: a) On peut remplacer la restriction qua X est reflexif par la restriction moins forte que X est faiblement complet par des suites.b) Si la condition (A) serait suffisant pour avoir (1) dans Γespace C[0, 1], elle serait asssi suffisante pour avoir (1) dans tout espaces de Banach, sans exception.Puis, dans les espaces de Banach arbitraires, on donne une condition -> necessaire et suffisante pour que toute fonction f(s) qui la verifie soit re-

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