The universality of words 𝑥^{𝑟}𝑦^{𝑠} in alternating groups

Abstract

If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r comma s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r,s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are nonzero integers and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the largest squarefree divisor of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">rs</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then for every element <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z"> <mml:semantics> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the alternating group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z equals x Superscript r Baseline y Superscript s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z = {x^r}{y^s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has a solution with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x comma y element-of upper A Subscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x,y \in {A_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, provided that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-slanted-equals 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geqslant 5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-slanted-equals left-parenthesis 5 slash 2 right-parenthesis log m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geqslant (5/2)\log m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The bound <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 5 slash 2 right-parenthesis log m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(5/2)\log m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> improves the bound <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4 m plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4m + 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of Droste. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-slanted-equals 29"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>29</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geqslant 29</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the coefficient <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> may be replaced by 2; however, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> cannot be replaced by 1 even for all <italic>large</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF