Cartan subalgebras of simple Lie algebras

Abstract

Let <italic>L</italic> be a finite-dimensional simple Lie algebra over an algebraically closed field of characteristic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 7"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p &gt; 7</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <italic>H</italic> be a Cartan subalgebra of <italic>L</italic>, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L equals upper H plus normal upper Sigma Subscript gamma element-of normal upper Gamma Baseline upper L Subscript gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L = H + {\Sigma _{\gamma \in \Gamma }}{L_\gamma }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the Cartan decomposition of <italic>L</italic> with respect to <italic>H</italic>, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the restricted subalgebra of Der <italic>L</italic> generated by ad <italic>H</italic>. Let <italic>T</italic> denote the maximal torus of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <italic>I</italic> denote the nil radical of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H overbar"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H overbar equals upper T plus upper I"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯<!-- ¯ --></mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bar H = T + I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Consequently, each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma element-of normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma \in \Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a linear function on <italic>H</italic>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF