Deux Théorèmes d'Arithmétique

Abstract

Deux Th\'eor\'emes d'Arithm\'etique Claude CHEVALLEY $1\backslash ousT$ nous proposons de d\'emontrer deux th\'eor\'emes de la th\'eorie des corps de nombres alg\'ebriques, qui n'ont l'un avec l'autre d'aucun autre rapport que celui d'\^etre tous deux utilis\'es par A. Weil dans son m\'emoire " Sur la th\'eorie du corps de classes '', qui parait dans le m\'eme num\'ero de ce journal.I Soit $K$ un corps de nombres alg\'ebriques de degr\'e fini sur le corps des lationnels.Un $g\check{r}oupe$ multiplicatif $E$ d'\'el ments $\neq 0$ de A sera dit $a\backslash $ engendrement fini si $E$ poss\'ede un ensemble fini de g\'en\'erateurs.C'est ainsi que le groupe des unit $s$ de $K$ est un groupe \'a engendrement fini; plus g\'en\'eralement, si on se donne un nombre fini $d^{)}id$ ' aux premiers $\mathfrak{p}1'\cdots$ , $\mathfrak{p}_{h}$ de $K$ , le $gro_{\llcorner}^{\prime}|p_{\vee}^{a}$ des \'el\'ements $x\neq 0$ de $Kte$ ls que l'id\'eal frac- tionnairc principal engendr\'e par $x$ soit un produit de puissances $(d' ex-$ posants positifs, nuls ou n\'egatifs) de $\mathfrak{p}_{1},$ $\cdots,$ $\mathfrak{p}_{h}$ est un groupe \'a engendre- ment fini, comme il est bien connu.Nous nous $p^{lO}posons$ de $d_{\vee}^{1}\prime mo\iota 1trer$ le th\'eor\'eme suivant: Th or\'eme 1. Soienl If un corps de nombres $al_{3^{\prime r}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ell^{\prime}briques$ de $deg/\acute{e}fni$ , et $E$ un $ sous-gronp\iota$ a $engendrem\iota^{J}/\iota t$ fini $du$ groupe $multiplica[lf$ des \'el\'emenls $\neq 0$ de K. Soit $m$ un en.$ier>0$ , et soit $b$ un entier rationnel quelconque.$1l$ existe a $r_{ors}$ un $e$ ntier ralionnel $a$ , premier \'a $b$ , qui jouit de la propri\'et\'e suivante: tout \'el\'e $ne'\iota tx$ de $E$ qui est $\equiv 1(mod a)$ est puissance m-i\'eme d'un $\sqrt[\prime]{}\acute{e}me'\iota t$ de $E$ .La condition $\cdot x\equiv 1(mod a)$ doit s'interpr\^eter au sens des congruences multiplicatives de H. Hasse; elle signifie que $x-1$ est de la $fo\iota$ me $ay_{\sim}\alpha^{-1}$ o\'u $y$ et $\alpha$ sont des entiers de $K$ et $\sim\sigma$ est premier \'a $a$ dans l'anneau des entiers de $K$ .

Locations

• Journal of the Mathematical Society of Japan - View - PDF