On the size of lemniscates of polynomials in one and several variables

Abstract

In the convergence theory of rational interpolation and Padé approximation, it is essential to estimate the size of the lemniscatic set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E colon equals left-brace z colon StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to r"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">{</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E:=\big \{z\,:\, |z|\le r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper P left-parenthesis z right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to epsilon Superscript n Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|P(z)|\le \epsilon ^{n}\big \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for a polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="less-than-or-equal-to n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\le n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Usually, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is taken to be monic, and either Cartan’s Lemma or potential theory is used to estimate the size of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, in terms of Hausdorff contents, planar Lebesgue measure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m_{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or logarithmic capacity cap. Here we normalize <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper P double-vertical-bar Subscript upper L Sub Subscript normal infinity Subscript left-parenthesis StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to r right-parenthesis Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|P\|_{L_{\infty }\bigl (|z|\le r\bigr )}=1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and show that cap<inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper E right-parenthesis less-than-or-equal-to 2 r epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(E)\le 2r\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m 2 left-parenthesis upper E right-parenthesis less-than-or-equal-to pi left-parenthesis 2 r epsilon right-parenthesis squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m_{2} (E)\le \pi (2r\epsilon )^{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are the sharp estimates for the size of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Our main result, however, involves generalizations of this to polynomials in several variables, as measured by Lebesgue measure on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or product capacity and Favarov’s capacity. Several of our estimates are sharp with respect to order in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon"> <mml:semantics> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF
• Institutional Repository University of Antwerp (University of Antwerp) - View - PDF