Symmetric powers of complete modules over a two-dimensional regular local ring

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper R comma m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(R,m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a two-dimensional regular local ring with infinite residue field. For a finitely generated, torsion-free <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-module <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, write <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>th symmetric power of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, mod torsion. We study the modules <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is complete (i.e., integrally closed). In particular, we show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B dot upper A equals upper A 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B\cdot A = A_{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for any minimal reduction <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B subset-of-or-equal-to upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B \subseteq A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and that the ring <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="circled-plus upper A Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\oplus _{n \geq 1} A_{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Cohen-Macaulay.

Locations

• KU ScholarWorks (University of Kansas) - View - PDF
• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF