A disjointness theorem involving topological entropy

Abstract

RESUME.-Un recouvrement standard d'un compact X est un recouvrement de celui-ci par deux ouverts non-denses.Dans Ie carre cartesien d'un flot (X,T), un couple (a;, x 1 ') hors de la diagonale est appele couple d'entropie quand tout recouvrement standard (U, V) tel que {x,x') G ^(U 0 ) X In^V 0 ) a une entropie positive.L'ensemble des couples d'entropie n'est pas vide des que Pentropie du not est positive, il est invariant par T X T, et tout couple situe dans sa fermeture est couple d'entropie s'il n'est pas dans la diagonale.On dit qu'un not est d'entropie uniformement positive si tout recouvrement standard est d'entropie positive, ce qui revient a dire que tout couple hors diagonale est couple d'entropie.Nous utilisons les proprietes des couples d'entropie pour montrer que les flots d'entropie uniformement positive, et meme une classe plus generale de flots, sont disjoints des flots minimaux d'entropie nulle.Nous construisons ensuite un exemple de flot d'entropie uniformement positive contenant une seule orbite periodique.ABSTRACT.-A cover of some compact set X by two non dense open sets is called a standard cover.In the cartesian square of a flow (X,T), pairs (x,x') outside the diagonal are defined as entropy pairs whenever any standard cover (£/, V} such that {x,x') G Int^U 0 ) x In^y 0 ) has positive entropy.The set of such pairs is nonempty provided h{X,T) > 0; it is T x T-invariant, and all pairs in its closure belong either to it or to the diagonal.A flow is said to have uniform positive entropy if any standard cover has positive entropy (or if all non diagonal pairs are entropy pairs).Properties of entropy pairs are used to show that flows with uniform positive entropy (in fact a wider class) are disjoint from minimal flows with entropy 0. A flow with uniform positive entropy containing only one periodic orbit is constructed.

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