Sufficient conditions for one domain to contain another in a space of constant curvature

Abstract

As an application of the analogue of C-S. Chen’s kinematic formula in the 3-dimensional space of constant curvature <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon"> <mml:semantics> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, that is, Euclidean space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}}^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-sphere <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, hyperbolic space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {H}}^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (<inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon equals 0 comma plus 1 comma negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon =0,\,+1,\,-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively), we obtain sufficient conditions for one domain to contain another domain in either an Euclidean space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-sphere <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or a hyperbolic space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper H cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {H}^{3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF