𝐿²(𝐺_{𝑄}\𝐺_{𝐴}) is not always multiplicity-free

Abstract

We show that there are solvable adelic groups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript bold upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{G_{\mathbf {A}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whose action on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared left-parenthesis upper G Subscript bold upper Q Baseline minus upper G Subscript bold upper A Baseline right-parenthesis comma upper G Subscript bold upper Q Baseline minus upper G Subscript bold upper A Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖<!-- ∖ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖<!-- ∖ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^2}({G_{\mathbf {Q}}}\backslash {G_{\mathbf {A}}}),{G_{\mathbf {Q}}}\backslash {G_{\mathbf {A}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> compact, it is not multiplicity-free.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF