Quasi-Triangular Spaces, Pompeiu-Hausdorff Quasi-Distances, and Periodic and Fixed Point Theorems of Banach and Nadler Types

Abstract

Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-index set. A quasi-triangular space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is a set<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>with family<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>satisfying<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo> ∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>. For any<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, a left (right) family<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>generated by<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>is defined to be<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mo> ∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math>and furthermore the property<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>holds whenever two sequences<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math>satisfy<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>sup</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo> {</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>sup</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. In<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, using the left (right) families<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>generated by<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>(<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>is a special case of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>), we construct three types of Pompeiu-Hausdorff left (right) quasi-distances on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>; for each type we construct of left (right) set-valued quasi-contraction<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, and we prove the convergence, existence, and periodic point theorem for such quasi-contractions. We also construct two types of left (right) single-valued quasi-contractions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi></mml:math>and we prove the convergence, existence, approximation, uniqueness, periodic point, and fixed point theorem for such quasi-contractions. (<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">A</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>) generalize ultra quasi-triangular and partiall quasi-triangular spaces (in particular, generalize metric, ultra metric, quasi-metric, ultra quasi-metric,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-metric, partial metric, partial<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-metric, pseudometric, quasi-pseudometric, ultra quasi-pseudometric, partial quasi-pseudometric, topological, uniform, quasi-uniform, gauge, ultra gauge, partial gauge, quasi-gauge, ultra quasi-gauge, and partial quasi-gauge spaces).

Locations

• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View
• Abstract and Applied Analysis - View - PDF