Global wellposedness of defocusing critical nonlinear Schrödinger equation in the radial case

Abstract

We establish global wellposedness and scattering for the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript 1"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>- critical defocusing NLS in 3D <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i u Subscript t Baseline plus normal upper Delta u minus u StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript 4 Baseline equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*}iu_{t}+\Delta u - u|u|^{4}=0 \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> assuming radial data <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi element-of upper H Superscript s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi \in H^{s}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In particular, it proves global existence of classical solutions in the radial case. The same result is obtained in 4D for the equation <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i u Subscript t Baseline plus normal upper Delta u minus u StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue squared equals 0 period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0.</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*}iu_{t}+\Delta u -u|u|^{2} =0. \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula>

Locations

• Journal of the American Mathematical Society - View - PDF