On primes 𝑝 with 𝜎(𝑝^{𝛼})=𝑚²

Abstract

A. Takaku proved that for odd <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha greater-than-or-slanted-equals 3 comma sigma left-parenthesis p Superscript alpha Baseline right-parenthesis equals m squared comma p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha \geqslant 3,\sigma ({p^\alpha }) = {m^2},p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> being a prime, implies that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 2 Superscript 2 Super Superscript alpha plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p &gt; {2^{{2^{\alpha + 1}}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In this paper we extend this result to include almost all even integers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α<!-- α --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF