A two-parameter “Bergman space” inequality

Abstract

For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis left-bracket 0 comma 1 right-bracket times left-bracket 0 comma 1 right-bracket right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f\in L^{1}([0,1]\times [0,1])</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda Subscript upper R Baseline identical-to mathematical left-angle f comma h Subscript left-parenthesis upper R right-parenthesis Baseline mathematical right-angle"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda _{R} \equiv \langle f,h_{(R)}\rangle</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Subscript left-parenthesis upper R right-parenthesis Baseline left-parenthesis x comma y right-parenthesis equals h Subscript left-parenthesis upper I right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis dot h Subscript left-parenthesis upper J right-parenthesis Baseline left-parenthesis y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h_{(R)}(x,y)=h_{(I)}(x)\cdot h_{(J)}(y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a tensor product of one-parameter Haar functions. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p less-than-or-equal-to q greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1&gt;p\leq q&gt;\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We prove a sufficient condition, which is close to necessary, on double sequences of weights <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace mu Subscript upper R Baseline right-brace Subscript upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{\mu _{R}\}_{R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and non-negative <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis left-bracket 0 comma 1 right-bracket times left-bracket 0 comma 1 right-bracket right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v\in L^{1}([0,1]\times [0,1])</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, which ensures that the inequality <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis sigma-summation Underscript upper R Endscripts StartAbsoluteValue lamda Subscript upper R Baseline EndAbsoluteValue Superscript q Baseline mu Subscript upper R Baseline right-parenthesis Superscript 1 slash q Baseline less-than-or-equal-to left-parenthesis integral Underscript left-bracket 0 comma 1 right-bracket times left-bracket 0 comma 1 right-bracket Endscripts StartAbsoluteValue f EndAbsoluteValue Superscript p Baseline v d x right-parenthesis Superscript 1 slash p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \left (\sum _{R}\vert {\lambda _{R}}\vert ^{q}\mu _{R}\right )^{1/q}\leq \left (\int _{[0,1]\times [0,1]}\vert {f}\vert ^{p}\, v\, dx\right )^{1/p}\end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> holds for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis left-bracket 0 comma 1 right-bracket times left-bracket 0 comma 1 right-bracket right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f\in L^{1}([0,1]\times [0,1])</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We extend our result to an inequality concerning two-parameter wavelet families.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF