Let G be a connected semisimple Lie group and K a maximal compact subgroup of G.We shall show in this paper that G has a discrete series (see [4 (d), …
Let G be a connected semisimple Lie group and K a maximal compact subgroup of G.We shall show in this paper that G has a discrete series (see [4 (d), w 5]) ff and only if it has a compact Cartan subgroup B. Let Ea denote the set of all equivalence classes of irreducible unitary representations of G, wMch are square-integrable.For any ~o E ~a, let | denote the character, X~ the infinitesimal character and d(r the formal degree (see [4 (d), w 3]) of co.Then it is known [4 (d), w 5] that the distribution
dimensional vector space V over R, we denote by V* its dual and by V e its complexification
dimensional vector space V over R, we denote by V* its dual and by V e its complexification
Part I. The c-, jand p-functions 2. Some elementary results on integrals 120 3. A lemma of Arthur 125 4. Induced representations 127 5. Intertwining operators 129 6. The mapping …
Part I. The c-, jand p-functions 2. Some elementary results on integrals 120 3. A lemma of Arthur 125 4. Induced representations 127 5. Intertwining operators 129 6. The mapping T-+XT ..131 131 7. The relation between induced representations and Eisenstein integrals 132 8. Some simple properties of E(P: f: v) 134 9. Proof of Theorem 7.1 136 10. An application of Theorem 7.1 138 11. Some properties of the j-functions 139 12. The p-function in a special case 141 13. The p-function in the general case and irreducibility of representations 142
Introduction Fourier transforms on the Lie algebra An extension and proof of Howe's Theorem Theory on the group Bibliography List of symbols Index.
Introduction Fourier transforms on the Lie algebra An extension and proof of Howe's Theorem Theory on the group Bibliography List of symbols Index.
If Fr^0 one can prove that there is only a finite number of possibilities for Tr (see [6(h), Theorem 3]).Lemma 1 (Mostow).Let fjo be a Cartan subalgebra of g0 and …
If Fr^0 one can prove that there is only a finite number of possibilities for Tr (see [6(h), Theorem 3]).Lemma 1 (Mostow).Let fjo be a Cartan subalgebra of g0 and fj the complexification of h0 in g.Then there exists a compact real form u of g with the following two properties:1. »j(u)=U, 2. hf^u is a Cartan subalgebra of u.Now let u be a fixed compact real form of g such that ij(u) =u and let
Introduction.Let G be a connected semisimple Lie group and ir an irreducible unitary representation of G on a Hubert space.Let C"(G) denote the class of all (complex-valued) functions on G …
Introduction.Let G be a connected semisimple Lie group and ir an irreducible unitary representation of G on a Hubert space.Let C"(G) denote the class of all (complex-valued) functions on G which vanish outside a compact set and which are indefinitely differentiable everywhere.
It is shown that corresponding to every pair of complex numbers κ , κ* for which 2( κ - κ* ) is real and integral, there exists, in general, one …
It is shown that corresponding to every pair of complex numbers κ , κ* for which 2( κ - κ* ) is real and integral, there exists, in general, one irreducible representation D κ, κ* , of the Lorentz group. However, if 4 κ , 4 κ* are both real and integral there are two representations D + κ, κ* and D - k, k* associated to the pair ( k, κ* ). All these representations are infinite except D - κ, κ* which is finite if 2 κ , 2 κ* are both integral. For suitable values of ( κ, κ* ), D κ, κ* or D + κ, κ* is unitary. U and B matrices similar to those given by Dirac (1936) and Fierz (1939) are introduced for these infinite representations. The extension of Dirac’s expansor formalism to cover half-integral spins is given. These new quantities, which are called expinors, bear the same relation to spinors as Dirac’s expansors to tensors. It is shown that they can be used to describe the spin properties of a particle in accordance with the principles of quantum mechanics.
There are important vector lattices whose associated finest compatible convex topology is not a Banach space topology, and we hope to be able to discuss the gen- eral situation in …
There are important vector lattices whose associated finest compatible convex topology is not a Banach space topology, and we hope to be able to discuss the gen- eral situation in the future.
This series aims to report new developments in mathematical research and teaching -quickly, informally and at a high level.The type of material considered for publication includes: 1.Preliminary drafts of original …
This series aims to report new developments in mathematical research and teaching -quickly, informally and at a high level.The type of material considered for publication includes: 1.Preliminary drafts of original papers and monographs 2. Lectures on a new field, or presenting a new angle on a classical field 3. Seminar work-outs 4.
A complex algebraic group G is in this note a subgroup of GL(n, C), the elements of which are all invertible matrices whose coefficients annihilate some set of polynomials {P …
A complex algebraic group G is in this note a subgroup of GL(n, C), the elements of which are all invertible matrices whose coefficients annihilate some set of polynomials {P M [Xn, • • • , X nn ]} in n 2 indeterminates.It is said to be defined over a field KQC if the polynomials can be chosen so as to have coefficients in K. Given a subring B of C, we denote by GB the subgroup of elements of G which have coefficients in JB, and whose determinant is a unit of B. Assume in particular G to be defined over Q.Then Gz is an "arithmetically defined discrete subgroup" of G Rl or, more briefly, an arithmetic subgroup of GR.A typical example is the group of units of a nondegenerate integral quadratic form, and as a matter of fact, the main results stated below generalize facts known in this case from reduction theory.The proofs will be published elsewhere.
Introduction Fourier transforms on the Lie algebra An extension and proof of Howe's Theorem Theory on the group Bibliography List of symbols Index.
Introduction Fourier transforms on the Lie algebra An extension and proof of Howe's Theorem Theory on the group Bibliography List of symbols Index.
If Fr^0 one can prove that there is only a finite number of possibilities for Tr (see [6(h), Theorem 3]).Lemma 1 (Mostow).Let fjo be a Cartan subalgebra of g0 and …
If Fr^0 one can prove that there is only a finite number of possibilities for Tr (see [6(h), Theorem 3]).Lemma 1 (Mostow).Let fjo be a Cartan subalgebra of g0 and fj the complexification of h0 in g.Then there exists a compact real form u of g with the following two properties:1. »j(u)=U, 2. hf^u is a Cartan subalgebra of u.Now let u be a fixed compact real form of g such that ij(u) =u and let
Introduction.E. Cartan has proved 2 that a connected semisimple Lie group is topologically the direct product of a compact subgroup and a Euclidean space.Cartan first proved this theorem in 1927 …
Introduction.E. Cartan has proved 2 that a connected semisimple Lie group is topologically the direct product of a compact subgroup and a Euclidean space.Cartan first proved this theorem in 1927 by a reduction to special cases, and not until 1929 did he free his proof from the consideration of special cases.As a result Cartan's proof is diffused among several journals.Moreover, Cartan employs in an essential way the theory of symmetric Riemannian spaces and makes use of a result whose proof seems to be lacking (Ann.École Norm.loc.cit.p. 367, §20).In this paper there will be given a more direct proof which eliminates the use of symmetric Riemannian spaces.The author wishes to acknowledge his debt to Professor C. Che valley who suggested in an oral communication Lemma 1.4 below and to whom a proof of Theorem 1, essentially the same as the one given here, was known. Definitions and preliminaries.Let Q be a semi-simple Lie algebra over a field K of characteristic zero.Let ad g denote the linear transformation #->[#, x], where x f g£:Ç-By a Cartan subalgebra is meant a subalgebra 3C of (7 maximal with respect to properties (1) 3C is abelian, that is, [JC, 3C] =0; and (2) U£3C implies ad H is semisimple, that is, its minimal equation has no repeated factor.It is a theorem that a Cartan subalgebra is a maximal abelian subalgebra (but not conversely).Let Ç be a semi-simple Lie algebra, that is, Ç contains no abelian ideal, and let 3C be any Cartan subalgebra.Assume that the base field K is algebraically closed.A nonzero linear function a defined on 3C is called a "root" if and only if there exists an -X" in Ç such that [H 9 X] = a(jFZ)X for all iI£3C.Any nonzero Y in Ç with this property is said to "belong to a."The following is known: 3 Rl.If X«, X& belong to a, /? respectively, then [l«, Xp] belongs
This famous book was the first treatise on Lie groups in which a modern point of view was adopted systematically, namely, that a continuous group can be regarded as a …
This famous book was the first treatise on Lie groups in which a modern point of view was adopted systematically, namely, that a continuous group can be regarded as a global object. To develop this idea to its fullest extent, Chevalley incorporated a broad range of topics, such as the covering spaces of topological spaces, analytic manifolds, integration of complete systems of differential equations on a manifold, and the calculus of exterior differential forms. The book opens with a short description of the classical groups: unitary groups, orthogonal groups, symplectic groups, etc. These special groups are then used to illustrate the general properties of Lie groups, which are considered later. The general notion of a Lie group is defined and correlated with the algebraic notion of a Lie algebra; the subgroups, factor groups, and homomorphisms of Lie groups are studied by making use of the Lie algebra. The last chapter is concerned with the theory of compact groups, culminating in Peter-Weyl's theorem on the existence of representations. Given a compact group, it is shown how one can construct algebraically the corresponding Lie group with complex parameters which appears in the form of a certain algebraic variety (associated algebraic group). This construction is intimately related to the proof of the generalization given by Tannaka of Pontrjagin's duality theorem for Abelian groups. The continued importance of Lie groups in mathematics and theoretical physics make this an indispensable volume for researchers in both fields.
As is well-known the so-called fifth problem of Hilbert on continuous groups was solved by J. v. Neumann [14]2 for compact groups and by L. Pontrjagin [15] for abelian groups. …
As is well-known the so-called fifth problem of Hilbert on continuous groups was solved by J. v. Neumann [14]2 for compact groups and by L. Pontrjagin [15] for abelian groups. More recently, it is reported, C. Chevalley [6] solved it for solvable groups.3 Now it seems, as H. Freudenthal [7] clarified for maximally almost periodic groups, that the essential source of the proof of Hilbert's problem for these groups lies in the fact that such groups can be approximated by Lie groups. Here we say that a locally compact group G can be approximated by Lie groups, if G contains a system of normal subgroups {Na} such that G/Na are Lie groups and that the intersection of all Na coincides with the identity e. For the brevity we call such a group a group of type (L) or an (L)-group. In the present paper we shall study the structure of such (L)-groups, and apply the result to solve the Hilbert's problem for a certain class of groups, which contains both compact and solvable groups as special cases. We shall be able to characterize a Lie group G, for which the factor group GIN of G modulo its radical N is compact, completely by its structure as a topological group. The outline of the paper is as follows. In ?1 we study the topological structure of the group of automorphisms of a compact group and prove theorems concerning compact normal subgroups of a connected topological group, which are to be used repeatedly in succeeding sections. In ?2 come some preliminary considerations on solvable groups, whereas finer structural theorems on these groups are, as special cases of (L)-groups, given later. In ?3 we prove some theorems on Lie groups. The theorems here stated are not all new, but we give them here for the sake of completeness, and thereby refine and modify these theorems so as to be applied appropriately in succeeding sections.4 After these preparations we study in ?4 the structure of (L)-groups. In particular, it is shown 'that the study of the local structure and the global topological structure
Introduction.Let G be a connected semisimple Lie group and ir an irreducible unitary representation of G on a Hubert space.Let C"(G) denote the class of all (complex-valued) functions on G …
Introduction.Let G be a connected semisimple Lie group and ir an irreducible unitary representation of G on a Hubert space.Let C"(G) denote the class of all (complex-valued) functions on G which vanish outside a compact set and which are indefinitely differentiable everywhere.
There are important vector lattices whose associated finest compatible convex topology is not a Banach space topology, and we hope to be able to discuss the gen- eral situation in …
There are important vector lattices whose associated finest compatible convex topology is not a Banach space topology, and we hope to be able to discuss the gen- eral situation in the future.
We show that any polynomial in the infinitesimal generators of a Lie group is essentially hypermaximal (and so has a spectral resolution), when suitably interpreted as an operator on a …
We show that any polynomial in the infinitesimal generators of a Lie group is essentially hypermaximal (and so has a spectral resolution), when suitably interpreted as an operator on a Hilbert space, provided it is formally and commutes with all the infinitesimal generators. Such operators are frequently of use in investigations of the unitary representations of Lie groups. The requirement that the polynomial commute with the infinitesimal generators cannot be eliminated, unless some. alternative restriction is put on the polynomial (for example, on its degree, as in [2]2); this is shown by an unpublished example due to von Neumann. Let G be a connected Lie group with Lie algebra C (of right-invariant infinitesimal transformations) and let E be the enveloping algebra of J (see for example [1]). If U is a (strongly) continuous unitary representation of G on a Hilbert space XQ, there exists (see [2]) an associated representation d U of E by operators on ae with domain P consisting of all sums of vectors of the form fU(a)xf(a)da, with xCeC, f a function of class CIO on G and vanishing outside a compact set (the integral being taken in the strong sense relative to the left-invariant Haar measure on G with element da), and characterized by the property that if XC/Z, then id U(X) is essentially hypermaximal (T is such an operator if T* = (T**), and exp (it(d U(X)) *) = U(exp (tX)) for all real t. An element of 6, will be called symmetric if it is invariant under the unique real linear operaton on E which takes any monomial aXjX2 ... X, (a complex, the Xi in C) into (-_ )rUXr * * * X2XI.
Let G be a connected semisimple Lie group and K a maximal compact subgroup of G.We shall show in this paper that G has a discrete series (see [4 (d), …
Let G be a connected semisimple Lie group and K a maximal compact subgroup of G.We shall show in this paper that G has a discrete series (see [4 (d), w 5]) ff and only if it has a compact Cartan subgroup B. Let Ea denote the set of all equivalence classes of irreducible unitary representations of G, wMch are square-integrable.For any ~o E ~a, let | denote the character, X~ the infinitesimal character and d(r the formal degree (see [4 (d), w 3]) of co.Then it is known [4 (d), w 5] that the distribution
We continue the study of unitary representations of locally compact groups begun in (3). Whereas (3) dealt to a large extent with discrete groups, the problems of the present paper …
We continue the study of unitary representations of locally compact groups begun in (3). Whereas (3) dealt to a large extent with discrete groups, the problems of the present paper are mainly relevant in the case of nondiscrete groups. Let g -+ U(g) be a unitary representation U of a group G by means of unitary operators U(g) acting in a separable Hilbert space ,. Let us form the smallest weakly closed self-adjoint algebra W of bounded linear operators on ! which
INTRODUCTION.Les questions traitées dans ce travail tirent leur origine des Mémoires de M. Élie Cartan sur la topologie des espaces de groupes et des espaces homogènes [1] (*).En s'appuyant sur …
INTRODUCTION.Les questions traitées dans ce travail tirent leur origine des Mémoires de M. Élie Cartan sur la topologie des espaces de groupes et des espaces homogènes [1] (*).En s'appuyant sur des théorèmes établis par M. de Rham, M. E. Cartan y a montré notamment que les nombres de Betti d'un espace homogène compact peuvent, en principe, se calculer directement à partir des algèbres de Lie du groupe transitif et du sous-groupe laissant un point invariant.Ces résultats ouvraient une voie d'accès purement algébrique aux invariants d'homologie des espaces homogènes, et en particulier aux nombres de Betti des groupes compacts.En fait, les progrès considérables qui furent accomplis depuis dans ce domaine, principalement par MM.Hopf[2], Samelson [3] et Leray [4] (**), reposent sur des démonstrations essentiellement topologiques qui débordent souvent largement le cadre des espaces homogènes.Cependant, les travaux de MM.Eilenberg et Hochschild montraient plus récemment l'intérêt des théories cohomologiques que l'on peut greffer sur certaines structures algébriques.Dans cette direction, les résultats de M. E. Cartan conduisent à attacher à une algèbre de Lie quelconque des êtres algébriques de nature cohoniologique qui, dans le cas d'une algèbre de Lie de groupe compact, coïncident avec les invariants de cohomologie topologique.Dans une publication de 1948, MM.Chevallej et Eilenberg ont développé celle théorie et ont montré ses applications à l'étude des représentations linéaires.Mon travail reprend certaines parties de leur Mémoire pour en donner un développement autonome.J'ai cherché en particulier à obtenir des résultats qui, appliqués au cas compact, redonnent les principaux théorèmes de Hopf et de Samelson.On verra qu'à cet égard, mes démonstrations se réduisent le plus souvent à reconstituer par des moyens algébriques une situation à laquelle conduisaient des considérations topologiques et à en tirer les conséquences en suivant de très près les voies tracées ( § 10, 13 et 17).Si cet objectif n'a pas été entière-(*) On renvoie aux paragraphes du texte par des numéros entre parenthèses ( ) et à la bibliographie qui suit cette introduction par des numéros entre crochets [ "| .(**) Pour s'en tenir aux travaux les plus généraux LXXVIÏI. 5 ( 7 ) Le « chapeau w ^ sur/indique que le facteur/doit être omis.<») On désigne par (u)P le produit u ^ u ^.. .ude p facteurs égaux a u.< 26 ) Cf. BOURBAKI [6], p. 5o.
implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de …
implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/F. BRUHAT.général où G n'est plus transitif sur M, et un lemme sur la décomposition de M dans le cas où il n'y a qu'une infinité dénombrable d'orbites.L'étude générale des représentations induites fait l'objet du chapitre II : au paragraphe ^, nous donnons tout d'abord la définition de la représentation différentiable U^ induite par une représentation différentiable /.° puis une définition très générale d'une représentation induite (notée U 1 ') par une représentation Z, unitaire ou non, d'un sous-groupe fermé F du groupe de Lie G. Nous étudions à quelle condition ^ peut être une représentation dans un espace de Banach ou une représentation unitaire.Notre définition a l'avantage de comprendre comme cas particulier aussi bien les représentations unitaires induites définies par M. MACKEY que les représentations unitaires de la « série complémentaire » des groupes de Lie semi-simples introduites par MM.GKLFAND et NAIMARK, représentations qui sont induites par des représentations non unitaires du sous-groupe T.MM. WIGNER, GELFAND et NAIMARK dans des cas particuliers, puis M. MACKEY dans le cas général, ont montré que l'existence dans un groupe G d'un sousgroupe abélien distingué F permettait de construire pour toute représentation unitaire de G un système d'imprimitivité et de déterminer dans certains cas toutes les représentations unitaires irréductibles de G; ces démonstrations reposent essentiellement sur le théorème de résolution spectrale de Stone-Ambrose-Naimark-Godement (voir par exemple [17]) et par suite sur le rôle joué dans la théorie des représentations unitaires par les fonctions de type positif et sur le théorème de Bochner.Nous avons pu obtenir des résultats analogues dans le cas de certaines représentations non unitaires (par exemple des représentations bornées dans des espaces de Banach) des groupes de Lie, en utilisant au lieu du théorème de Bochner, les résultats de M. L. SCHWARTZ sur la transformation de Fourier des distributions : ceci fait l'objet du paragraphe 5. Après avoir quelque peu généralisé la notion de représentation tempérée d'un groupe de Lie abélien, notion due à M. L. SCHWARTZ, nous construisons pour toute représentation de G dont la restriction à F est tempérée, une distribution P sur le groupe dual f de F, à valeurs dans L{E\E)^ qui possède des propriétés généralisant celles du système d'imprimitivité du cas classique.Moyennant certaines hypothèses de régularité sur la manière dont G opère sur f, on peut alors déterminer les distributions P qui correspondent à des représentations irréductibles, et obtenir une généralisation du théorème de M. MACKEY : les représentations irréductibles envisagées de G sont induites (au sens du paragraphe 4) par certaines représentations des stabilisateurs dans G des différents points de f.Nous abordons au paragraphe 6 l'étude des nombres d'entrelacement /(^, £7^) de deux représentations induites par les représentations L et M de deux sous-groupes I\ et Fa respectivement : nous en donnons une définition légèrement différente de celle donnée classiquement dans le cas unitaire, mais qui est mieux adaptée au passage aux représentations différentiables REPRÉSENTATIONS INDUITES DES GROUPES DE LIE.loi associées et à l'extension au cas non unitaire.Nous démontrons au n° 2 que ce nombre d'entrelacement est lié à la dimension d'un certain espace de distributions (vectorielles) sur 6r, quasi invariantes pour les translations à gauche par les éléments de fi et à droite par les éléments de I\.On voit donc s'introduire naturellement les classes d'intransitivité de G pour ces translations, c'est-à-dire les doubles classes module ri:I\.Au n° 3, nous donnons une condition nécessaire et suffisante d'irréductibilité pour une représentation unitaire induite par une représentation unitaire de dimension finie d'un sous-groupe distingué.Enfin, nous établissons au n° ^ une majoration de ^(î/^, U^) (donc un critère d'irréductibilité pour les représentations unitaires) dans le cas où il n'y a qu'une infinité dénombrable de doubles classes module ri:l\, cas très important dans la pratique, puisque, comme nous l'avons signalé plus haut, c'est celui qui se présente dans l'étude des groupes semi-simples.Cette majoration nous permet également de démontrer une généralisation (malheureusement imparfaite) du théorème de réciprocité de Frobenius, qui contrairement à celle de M. MACKEY dans [30], ne fait intervenir que les deux représentations envisagées et ne nécessite aucune hypothèse sur l'ensemble des représentations de G ou de F.Le chapitre III est consacré à l'application des théorèmes du paragraphe G à l'étude des groupes de Lie semi-simples réels ou complexes.Nous rappelons brièvement au n° 1 les principaux résultats d'E.CARTAN, II.WEYL et K. IWASAWA sur la structure des algèbres et groupes de Lie semi-simples et nous introduisons le sous-groupe T produit d'un sous-groupe résoluble « supplémentaire » d'un sous-groupe compact maximal AT et du centralisateur de ce sous-groupe résoluble dans K. Pour pouvoir appliquer les théorèmes 6; 3 et 6; 5, il nous faut démontrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de doubles classes module r:r; cette démonstration, ainsi que celle de différents lemmes préliminaires, fait l'objet du n° 2 : nous y montrons que les doubles classes sont en correspondance biunivoque avec les éléments du groupe de Weyl de G. Les n^ 3 et 4 sont consacrés à la démonstration de l'irréductibilité de « presque toutes » les représentations unitaires de G induites par une représentation unitaire de dimension finie de F. Le n° 5 est relatif aux représentations de la « série complémentaire » et le n° 6 aux représentations de la « série dégénérée » : nous y étendons au cas général des définitions données par MM.GELFAND et NAIMARK dans le cas des groupes complexes classiques et y démontrons l'irréductibilité de « presque toutes » les représentations unitaires ainsi introduites.Je tiens à exprimer ici ma profonde reconnaissance à M. H. CARTAN, qui a bien voulu diriger mes recherches, à M. L. SCHWARTZ et à M. R. GODEMENT, qui m'ont constamment guidé de leurs conseils.Je suis heureux de pouvoir les remercier de toute l'aide qu'ils m'ont apportée par leurs remarques et leurs suggestions ainsi que par les encouragements qu'ils n'ont cessé de me donner.Je remercie également M. A. LICHNEROWICZ, qui a bien voulu se ioindre à eux pour constituer le Jury de cette Thèse.Io>