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An introduction to forking

1979-09-01
Daniel Lascar , Bruno Poizat
The notion of forking has been introduced by Shelah, and a full treatment of it will appear in his book on stability [S1]. The principal aim of this paper is … The notion of forking has been introduced by Shelah, and a full treatment of it will appear in his book on stability [S1]. The principal aim of this paper is to show that it is an easy and natural notion. Consider some well-known examples of ℵ 0 -stable theories: vector spaces over Q , algebraically closed fields, differentially closed fields of characteristic 0; in each of these cases, we have a natural notion of independence: linear, algebraic and differential independence respectively. Forking gives a generalization of these notions. More precisely, if are subsets of some model and c a point of this model, the fact that the type of c over does not fork over means that there are no more relations of dependence between c and than there already existed between c and . In the case of the vector spaces, this means that c is in the space generated by only if it is already in the space generated by . In the case of differentially closed fields, this means that the minimal differential equations of c with coefficient respectively in and have the same order. Of course, these notions of dependence are essential for the study of the above mentioned structures. Forking is no less important for stable theories. A glance at Shelah's book will convince the reader that this is the case. What we have to do is the following. Assuming T stable and given and p a type on , we want to distinguish among the extensions of p to some of them that we shall call the nonforking extensions of p .

Paires de structures stables

1983-06-01
Bruno Poizat
Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T ′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec … Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T ′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec en outre un symbole relationnel unaire interprétant un de ses sous-corps propres algébriquement clos. C'est à l'éclaircissement des rapports de T et de T ′ qu'est consacré cet article. J'y considère une théorie complète T stable, et les structures formées d'un modèle N de T, avec en outre un symbole relationnel unaire ( x ) interprétant une restriction élémentaire M de N ; j'appelle ces structures paires de modèles de T . Et je dis que la paire ( N, M ) est belle si d'une part M est ∣ T ∣ + -saturé, et d'autre part pour tout n -uplet ā d'éléments de N , tout type, au sens de T , sur M ⋃ {α} est réalisé dans N . Le premier résultat (Théorème 4) est que deux belles paires sont élémentairement équivalentes. Plus précisément, si ( N 1 , M 1 ) et ( N 2 , M 2 ) sont deux belles paires, et si ā est dans la première, b¯ dans la seconde, le fait que le type de ā sur M 1 et celui de b¯ sur M 2 soient équivalents dans l'ordre fondamental au sens de T suffit (et est bien sûr nécessaire) pour que ā at b¯ aient même type (sur ⊘) au sens de la théorie T ′ des belles paires.

Paires de structures O-minimales

1998-06-01
Yerzhan Baisalov , Bruno Poizat
Resumo Ni montras propecon de el j eteco de la kvantoro (∃y ∈ M ) pri la (sufi c e) belaj paroj de modeloj de una O -plimalpova teorio. G … Resumo Ni montras propecon de el j eteco de la kvantoro (∃y ∈ M ) pri la (sufi c e) belaj paroj de modeloj de una O -plimalpova teorio. G i havas korolaron ke, se ni aldonas malkavajn unarajn predikatojn a la lingvo de kelka O -plimalpova strukturo, ni ricevas malforte O -plimalpovan strukturon. Tui c i rezultato estis en speciala kaso pruvita de [5], kaj la g ia g eneralize c o estis anoncita en [1].

Groupes stables, avec types génériques réguliers

1983-06-01
Bruno Poizat
Cet article ne contient rien de révolutionnaire, et son auteur a conscience du risque qu'il court de le voir dépassé, lors de sa parution, par des travaux plus profonds. Il … Cet article ne contient rien de révolutionnaire, et son auteur a conscience du risque qu'il court de le voir dépassé, lors de sa parution, par des travaux plus profonds. Il a pensé qu'il n'était pas inutile de publier, faute de mieux, les résultats simples auxquels il est parvenu (le lecteur lui saura gré de ce caractère reposant), en espérant qu'il passeront à la postérité sous forme d'exercices dans les manuels futurs où les petits enfants apprendront la théorie des modèles. Il s'agit de groupes stables; on sait depuis longtemps que la stabilité de la théorie d'un groupe impose des “conditions de chaîne” sur ses sous-groupes définissables : l'exploitation de ce phénomène, de nature bien algébrique, qui est brièvement exposé dans la première section de cet article, a fait le bonheur d'une génération de théoriciens des modèles. Un autre phénomène, plus subtil, semble ne pas avoir épuisé sa substance : c'est celui, dont l'apparition remonte aux travaux de B. Zilber, qui est décrit dans [7] sous le nom de “types de strate maximum”, et dans [2] sous le nom de “large sets”; la deuxième section lui est consacrée: elle a été écrite dans le désir de montrer l'équivalence de ces deux approches, et aussi par repentir de n'avoir pas suffisament éclairé ses motivations dans [7]. Ce souci d'unification a eu une influence, que j'espère salutaire, sur le vocabulaire: je parle ici de “types génériques” et d'“ensembles (ou de formules) génériques”. Ces termes, ainsi que celui de “composante connexe”, sont empruntés au langage de la géométrie: un groupe algébrique, étant définissable dans la théorie d'un corps algébriquement clos, est stable, et ses “types génériques” sont les “points génériques” des géomètres.

Stable Groups

2001-05-01
Bruno Poizat

Tores et <i>p</i>-groupes

1990-06-01
Alexandre Borovik , Bruno Poizat
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Positive Jonsson Theories

2018-03-08
Bruno Poizat , A.R. Yeshkeyev

Sous-groupes définissables d'un groupe stable

1981-03-01
Bruno Poizat
On sait, depuis les travaux de Zil'ber et de Cherlin, que le degré de Morley de la théorie T d'un groupe G totalement transcendant est l'indice du plus petit sous-groupe … On sait, depuis les travaux de Zil'ber et de Cherlin, que le degré de Morley de la théorie T d'un groupe G totalement transcendant est l'indice du plus petit sous-groupe définissable d'indice fini de G . Il est clair qu'il lui est supérieur, et l'inégalité inverse peut s'obtenir de la manière suivante: on fait agir G sur les types de S 1 ( G ) de rang de Morley maximum en associant à p , type de x au-dessus de G , le type ap de ax au-dessus de G ; on montre alors que cette action est définissable, que le fait que ap = q équivaut au fait que a satisfasse une certaine formule à paramètres dans G , ce qui est bien facile si on n'oublie pas que dans une théorie stable tous les types sont définissables; on montre ensuite que cette action est transitive, que si p et q sont de rang de Morley maximum il existe a dans G tel que ap = q , et la méthode la plus rapide, mais qui est aussi la plus sophistiquée, est d'utiliser l'argument de symétrie de la déviation employé dans la preuve de la Proposition 1 de présent article; on conclut alors puisque le degré de Morley, qui est par définition le nombre de types de rang de Morley maximum, ést egal à l'indice du stabilisateur de p , qui est définissable. Ce comportement des types de rang de Morely maximum se retrouve sans peine, si G est seulement superstable, dans celui des types de “plus petit rang continu” (encore appellé “degré de Shelah”) maximum. Pour trouver ce qui leur correspond dans le cas où G est seulement stable, il faut être un peu plus soigneux, et considérer les types p de S 1 ( G ), où G aura éventuellement été remplacé par une extension élémentaire suffisament saturée, tels que pour tout a de G ap ne dévie pas sur ∅: on montre qu'ils existent, et qu'ils sont tous conjugués par action de G ; le fait que ap = q s'exprimera cette fois par une infinité de formules et non plus par une seule.

Des belles paires aux beaux uples

1988-06-01
Élisabeth Bouscaren , Bruno Poizat
Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de … Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de p , et qui n'est pas une simple variable, on a, pour tous a 1 ,…, a n de M , t(a 1 ,… a n ) ≠ a 1 ; toutes ces “fonctions-paires” sont élémentairement équivalentes, à condition, bien sûr, que l'ensemble M soit non vide, et leur théorie (parfois traduite dans un autre langage) a été considérée par divers auteurs. Ainsi, A. Mal'cev [Mal'cev 1962] a décrit toutes les théories d'algèbre localement libres, associées à un langage fonctionnel arbitraire; O. Belegradek [Belegradek] a étudié dans le détail leurs propriétés de stabilité; F. Lucas [Lucas 1978] avait également considéré des fonctions-paires localement libres; c'est encore une fonction-paire qui a été utilisée par J. F. Pabion [Pabion 1982], pour ω 1 -saturer, mais pas davantage, les modèles de l'Arithmétique; il a été remarqué, dans [Poizat 1984], combien il était utile pour cela de disposer d'une théorie non superstable sans propriété de recouvrement fini; dans un tout autre contexte, et pour de tout autres raisons, cette théorie de fonctions-paires a également été utilisée dans [Poizat 1986]; tous ces emplois supposent qu'on y maîtrise bien l'élimination des quanteurs.

A group in a group

1990-05-01
David M. Evans , Anand Pillay , Bruno Poizat

Des belles paires aux beaux uples

1988-06-01
Élisabeth Bouscaren , Bruno Poizat
Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de … Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de p , et qui n'est pas une simple variable, on a, pour tous a 1 ,…, a n de M , t(a 1 ,… a n ) ≠ a 1 ; toutes ces “fonctions-paires” sont élémentairement équivalentes, à condition, bien sûr, que l'ensemble M soit non vide, et leur théorie (parfois traduite dans un autre langage) a été considérée par divers auteurs. Ainsi, A. Mal'cev [Mal'cev 1962] a décrit toutes les théories d'algèbre localement libres, associées à un langage fonctionnel arbitraire; O. Belegradek [Belegradek] a étudié dans le détail leurs propriétés de stabilité; F. Lucas [Lucas 1978] avait également considéré des fonctions-paires localement libres; c'est encore une fonction-paire qui a été utilisée par J. F. Pabion [Pabion 1982], pour ω 1 -saturer, mais pas davantage, les modèles de l'Arithmétique; il a été remarqué, dans [Poizat 1984], combien il était utile pour cela de disposer d'une théorie non superstable sans propriété de recouvrement fini; dans un tout autre contexte, et pour de tout autres raisons, cette théorie de fonctions-paires a également été utilisée dans [Poizat 1986]; tous ces emplois supposent qu'on y maîtrise bien l'élimination des quanteurs.

Pas d'imaginaires dans l'infini!

1987-06-01
Anand Pillay , Bruno Poizat
Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation … Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation d'équivalence E , infiniment définissable dans un modèle M d'une théorie stable T , était conjonction de relations d'équivalence définissables. Nous allons voir ici que c'est presque exact: c'est vrai si T est totalement transcendante, et, dans le cas général de stabilité E a toujours un raffinement E 1 (plus précisément, E 1 est la conjonction de E et de la relation “ x et y ont même type”) qui a cette propriété; cela montre que cette relation E n'introduit pas d'imaginaires d'une nature vraiment différente de celle des imaginaires de Shelah: dans une théorie stable, un imaginaire infinitaire n'est rien d'autre qu'un ensemble d'imaginaires finis. La démonstration du théorème principal de cette note s'appuie lourdement sur la construction M eq de Shelah, la machinerie de la déviation, les paramètres imaginaires canoniques pour la définition d'un type stable, etc…. Pour tout cela, les références adéquates sont Shelah [1978], Pillay [1983], et Poizat [1985, Chapitre 16]. Nouscommençons par préciser ce que nous entendons par “relation d'équivalence infiniment définissable”: une collection de formules e( , ȳ ), et ȳ étant de longueur n , telle que, pour tout modèle M de T , les couples ( , ȳ ) qui les satisfont toutes forment une rélation d'équivalence E .

Théories instables

1981-09-01
Bruno Poizat
L'absence ou la présence de la propriété d'indépendance, introduite par Shelah, est sans aucun doute une mesure significative de la complexité, du point de vue de la théorie des modèles, … L'absence ou la présence de la propriété d'indépendance, introduite par Shelah, est sans aucun doute une mesure significative de la complexité, du point de vue de la théorie des modèles, d'une théorie instable. Il importe donc de distinguer les théories qui ont cette propriété de celles qui ne l'ont pas; le critère de Keisler [1] et de Shelah [5], qui consiste à compter le nombre de types qu'on peut obtenir sur un ensemble de paramètres de cardinal λ , n'emporte la décision que si l'on nie assez brutalement l'hypothèse du continu généralisée. Je propose ici de compter, étant donnée une partie X , de cardinal λ , d'un espace de types S i ( M ), quel peut être le cardinal de l'adhérence de X ; ce point de vue équivaut au précédent si la théorie T est stable (voir la remarque après le Théorème 7); et si T n'a pas la propriété d'indépendance ce cardinal est au plus 2 λ , tandis que si T a la propriété d'indépendance il peut atteindre 2 2 λ (Théorème 7). Cela donne, indépendamment d'hypothèses de théorie des ensembles, une mesure quantitative de la plus grande complexité des espaces de types s'il y a propriété d'indépendance; et sous la forme du Théorème 8, cela devient un test très maniable dans les situations concrètes, car l'expérience m'a prouvé que les cohéritiers d'un type sont toujours faciles à déterminer. Dans une première section, je considère un type complet p au dessus d'un modèle M d'une théorie complète T , et parmi les fils de p sur une extension élémentaire de M j'en distingue certains que j'appelle fils spéciaux de p : cette notion est naturelle et utile pour la suite, car le critère que j'ai décrit revient à prouver l'abondance de certains fils spéciaux d'un même type; on notera au passage le Théorème 3. Le théorème de caractérisation de la propriété d'indépendance est prouvé dans une deuxième section, grâce à un résultat de combinatoire (Théorème 6); j'y montre aussi, à titre d'illustration, qu'un ordre total n'a jamais la propriété d'indépendance.

Supergénérix

2014-02-01
Bruno Poizat
Etant donné un sous-groupe G d'un groupe Γ stable (au sens modèle-théorique), et en particulier quand Γ est un groupe de rang de Morley fini, les traces sur G des … Etant donné un sous-groupe G d'un groupe Γ stable (au sens modèle-théorique), et en particulier quand Γ est un groupe de rang de Morley fini, les traces sur G des sous-ensembles définissables de Γ ont une propriété remarquable : si la clôture définissable de G est connexe, elles sont soit supergénériques, soit de complémentaire supergénérique, au sens de la définition donnée au tout début de cet article. Un exemple de cette situation est fourni par les groupes linéaires : pour un certain n, G est un sous-groupe de Γ=GLn(K), où K est un corps qu'on peut supposer algébriquement clos ; les ensembles définissables au sens de GLn(K) sont alors ses parties constructibles, c-à-d les combinaisons booléennes d'un nombre fini de ses fermés de Zariski. Quel que soit le groupe G, ses parties supergénériques forment un filtre de gros ensembles, qui, à ce qu'il me semble, est défini ici pour la première fois. Cet article est une amorce de l'étude de la supergénéricité dans un cadre général, sans aucune hypothèse de nature modèle-théorique, mais avec une attention spéciale portée aux propriétés de généricité bien particulières que possèdent les parties définissables d'un groupe stable. Sa lecture ne demande aucune connaissance en Logique, si on est prêt à faire l'impasse sur les démonstrations des théorèmes établissant que ces ensembles ont bien ces propriétés. Given a subroup G of a stable (in the model-theoric sense) group Γ, in particular when Γ is a group of finite Morley rank, the traces on G of the definable subsets of Γ have a remarkable property: if the definable closure of G is connected, they are either supergeneric, or supergenerically complemented, in the sense of the definition given at the very beginning of this paper. An example of this situation is provided by the linear groups: for some n, G is a subgroup of Γ=GLn(K), where K is a field that we may take algebraically closed; the definable sets in the sense of GLn(K) are its constructible subsets, i.e. the boolean combinations of a finite number of its Zariski closed subsets. For any group G, the supergeneric subsets of G form a filter of large sets, which, to my best knowledge, is defined here for the first time. This paper undertakes the study of supergenericity in a general context, with no hypotheses of a model-theoric nature, but with a special attention given to the very specific properties of genericity possessed by the definable subsets of a stable group. It can be read without any knowledge of Logic, provided that one is ready to skip the proofs of the theorems showing precisely that these definable sets have these properties.

Sous-groupes periodiques d'un groupe stable

1993-06-01
Bruno Poizat , Frank Olaf Wagner
Abstract We develop a Sylow theory for stable groups satisfying certain additional conditions (2- finiteness, solvability or smallness) and show that their maximal p -subgroups are locally finite and conjugate. … Abstract We develop a Sylow theory for stable groups satisfying certain additional conditions (2- finiteness, solvability or smallness) and show that their maximal p -subgroups are locally finite and conjugate. Furthermore, we generalize a theorem of Baer-Suzuki on subgroups generated by a conjugacy class of p -elements.

MM. Borel, Tits, Zil′ber et le Général Nonsense

1988-03-01
Bruno Poizat
Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème … Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles. Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie. Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.

MM. Borel, Tits, Zil′ber et le Général Nonsense

1988-03-01
Bruno Poizat
Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème … Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles. Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie. Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.

Quelques effets pervers de la positivité

2009-07-20
Bruno Poizat

Missionary mathematics

1988-03-01
Bruno Poizat
Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit … Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit rien au mathématicien; il n’y reconnait pas son activité favorite, ni ne croit qu’elle puisse avoir une influence sur sa pratique. L’illustration la plus extrême de cette tradition, ce sont les “reverse mathematics” de Harvey Friedman, qui connaissent le succès que l’on sait. Je veux parler ici d’une tendance toute opposée, secrétée par les développements contemporains de la théorie des modèles, qui promet des positions beaucoup plus directes. Elle se cristalise autour de l’étude des groupes stables; l’apparition de groupes n’a rien d’inattendu dans un contexte mathématiquement signifiant: un groupe, c’est ce qui garantit une structure non-triviale (ceci n’est pas un simple argument terroriste: il y a des théoremes pour le soutenir); quant à la stabilité, c’est une hypothèse de controle structurel, au large champ d’application, et qu’on pourra dépasser quand seront résolus les problèmes posés dans le cadre stable.

Sous-groupes superstables de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> et de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">PSL</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="…

2005-06-10
Yerulan Mustafin , Bruno Poizat

La limite des theories de courbes generiques

2002-03-01
Olivier Chapuis , Ehud Hrushovski , Pascal Koiran +1 more
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Back and Forth in Positive Logic

2022-01-01
Bruno Poizat , A.R. Yeshkeyev

THÉORIE DE GALOIS POUR LES ALGÈBRES DE POST INFINITAIRES

1981-01-01
Bruno Poizat

Deux remarques à propos de la propriété de recouvrement fini

1984-09-01
Bruno Poizat
Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de … Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de Keisler. Je rappelle seulement ici que: a) La définition originale est la suivante: une théorie complète T n'a pas la p.r.f. si à toute formule f(x, ȳ) de son langage est associé un entier n , de sorte que tout ensemble (fini!) { f(x, ā 1 ), …, f(x, ā s )}, où les ā i ; sont des paramètres extraits d'un modèle M de T , soit consistant dès que ses parties à n éléments le sont. Une théorie sans p.r.f. satisfait done un renforcement du théorème de compacité; elle est en ce sens plus simple qu'une théorie avec p.r.f. b) T n'a pas la p.r.f. si et seulement si elle est stable (i.e. tout type sur un modèle M de T est définissable; à toute formule f(x, ȳ) est associée une formule g(ȳ, ā) à paramètres dans M , telle que les de M pour lesquels f(x , ) est dans le type en question soient précisément ceux qui vérifient g(ȳ, ā)) , et si en outre on peut exprimer par une formule sur le paramètre ā que g(ȳ, ā) définit un f -type consistant: à f 1 ( x, ȳ ), …, f s (x, ȳ) , g 1 ( ȳ , ), …, g s ( ȳ , ) est associé une formule h ( ), telle que pour tout ā de tout modèle M de T, ā satisfasse h si et seulement si l'ensemble de tous les f i ( x , ), où est dans M et satisfait g i (ȳ, ā) , est consistant.

Post-scriptum à “Théories instables”

1983-03-01
Bruno Poizat
Cette note est une suite à mon article Théories instables , this Journal, vol. 46 (1981), pp. 513–522. Quand il en a eu pris connaissance, Saharon Shelah–et c'est remplir un … Cette note est une suite à mon article Théories instables , this Journal, vol. 46 (1981), pp. 513–522. Quand il en a eu pris connaissance, Saharon Shelah–et c'est remplir un devoir agréable que de lui témoigner ici ma reconnaissance pour l'intérêt qu'il porte à mes travaux–m'a fait savoir qu'il pouvait en simplifier les résultats, et a publié le Théorème 1 de ce post-scriptum, pour le cas des cohéritiers, dans les “added in proof” de son Simple unstable théories, Annals of Mathematical Logic , vol. 19 (1980), pp. 177–203, plusieurs mois avant que ne paraisse l'article qu'il améliore. On verra ici que ce théorème se généralise sans problème aux fils spéciaux, et que son corollaire, le Théorème 2, représente un net progrès sur mon résultat original, puisqu'il est à la fois plus général, plus précis, et obtenu à moindre frais, le lemme sur les ultrafiltres devenant inutile. Quelques rappels pour commencer: je considère une théorie complète T , sans propriété d'indépendance; cela signifie que toute suite … a i … indicernable dans l'ordre est insécable , c'est-à-dire qu'il ne peut exister de formule f ( x, ȳ ) et de paramètres tels que f ( a i , ) soit vraie cofinalement, et fausse cofinalement, dans la suite; cela signifie encore que cette suite s est découpée par la formule f ( x , ) en un nombre fini de segments S 1 , …, S k , la formule prenant la même valeur de vérité dans chaque segment, et des valeurs opposées dans des segments consécutifs; ce nombre k de segments sera appelé nombre d'alternance de la formule f ( x , ) sur la suite s . On remarquera que, par compacité, ce nombre d'alternance est majoré en fonction seulement de f ( x, ȳ ).

Quelques tentatives de définir une notion générale de groupes et de corps de dimension un et de déterminer leurs propriétés algébriques

2009-05-22
Bruno Poizat
We make some attempts to define a general notion of groups and fields of dimension one, and to determine their algebraic properties. We make some attempts to define a general notion of groups and fields of dimension one, and to determine their algebraic properties.
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Liftez les sylows! Une suite à “Sous-groupes périodiques d'un groupe stable”

2000-06-01
Bruno Poizat , Frank Olaf Wagner
Abstract If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H , then the Sylow-2-subgroups G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G . Zusammenfassung. Sei G … Abstract If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H , then the Sylow-2-subgroups G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G . Zusammenfassung. Sei G eine omega-stabile Gruppe und H ein definierbarer Normalteiler von G . Dann sind die Sylow-2-Untergruppen von G/H Bilder der Sylow-2-Untergruppen von G .
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Milieu et symétrie, une étude de la convexité dans les groupes sans involutions

2017-10-26
Bruno Poizat

La conjecture d’algébricité, dans une perspective historique, et surtout modèle-théorique

2024-07-19
Bruno Poizat

Une tentative malheureuse de construire une structure éliminant rapidement les quanteurs

2000-01-01
Bruno Poizat

Groups of small Cantor rank

2010-01-25
Bruno Poizat
Les groupes de rang de Morley fini satisfont des conditions extraordinairement favorables d'additivité et de définissabilité du rang, ainsi que des propriétés de généricité optimales, et pourtant leur étude pose … Les groupes de rang de Morley fini satisfont des conditions extraordinairement favorables d'additivité et de définissabilité du rang, ainsi que des propriétés de généricité optimales, et pourtant leur étude pose des problèmes sérieux dès le rang trois, comme il a été montré dans un célèbre article de Gregory Cherlin [Cherlin, 1979]. Nous allons ici étendre les résultats de Cherlin au contexte plus acrobatique du rang de Cantor; il nous faudra remplacer les arguments reposant sur des propriétés générales du rang de Morley par des considérations ad hoc, qui ne fonctionnent que parce que les petits rangs ne laissent pas beaucoup de place, et les arguments de généricité, qui reposent en dernière analyse sur la symétrie de la déviation, par des propriétés de symétrie spécifiques aux ensembles auxquels ils sont appliqués. Nous invitons notre lecteur à considérer cet article, qui ne fait que démontrer péniblement des résultats d'intérêt anecdotique, comme une méditation sur la force cachée des axiomes introduits dans la préface de [Poizat, 1987].

SYMÉTRIES ET TRANSVEXIONS, PRINCIPALEMENT DANS LES GROUPES DE RANG DE MORLEY FINI SANS INVOLUTIONS

2021-06-07
Bruno Poizat
Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans … Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans involutions; en effet, cette démonstration consiste en la construction d'un espace symétrique de dimension deux (“un plan”), puis à montrer que ce plan ne peut exister. Aux sous-espaces symétriques définissables de ces groupes sont associées des symétries et des transvexions, qu'on entreprend d'étudier ici dans l'abstrait, sans référence à un groupe qui les enveloppe; cela nous mène à considérer des structures introduites axiomatiquement que nous appelons symétrons (plutôt qu' ensembles symétriques diadiques, comme les ont nommées Lawson &amp; Lim 2004). Le $Z^*$ -Theorem de Glauberman permet d'élucider complètement la structure des symétrons finis: chacun est isomorphe à l'ensemble des symétries associées à un sous-espace symétrique d'un groupe fini sans involutions, qui est loin d'être uniquement déterminé: de fait, il existe des groupes finis non isomorphes qui ont les mêmes symétries, et aussi des symétrons finis qui ne sont pas isomorphes aux symétries d'un groupe, La situation est plus incertaine dans le cas des symétrons de rang de Morley fini, ou même algébriques, qui sont l'objet d'étude principal de cet article. Mais bien qu'un symétron soit une structure nettement plus faible qu'un groupe, nous pouvons étendre aux symétrons des résultats bien connus à propos des groupes de rang de Morley fini: condition de chaîne, décomposition en composantes connexes, caractérisation des parties définissables génériques, génération elliptique, etc. Ces propriétés sont nouvelles même dans le cas des sous-espaces symétriques d’un groupe, et permettent de court-circuiter les calculs de Frécon dans la construction de son plan paradoxal. En outre, sous l'hypothèse de la Conjecture d'Algébricité, nous généralisons le Théorème de Glauberman au contexte de rang de Morley fini.

Ordinals and Cardinals

2000-01-01
Bruno Poizat

Autour du Théorème de Morley

2000-01-01
Bruno Poizat

Polygones

1995-01-01
T. G. Mustafin , Bruno Poizat
Abstract We study the class of structures formed by all the polygons over a given monoid, which is equivalent to the study of the varieties in a language containing only … Abstract We study the class of structures formed by all the polygons over a given monoid, which is equivalent to the study of the varieties in a language containing only unary functions. We collect and amplify previous results concerning their stability and superstability. Then we characterize the regular monoids for which all these polygons are ω‐stable; the question about the existence of a non regular monoid with this property is left open.

Liaisons linéaires entre racines de l'unité en caractéristique non nulle

2005-11-23
Bruno Poizat , François Gramain

Etude D'Un Forcing en Théorie des Modèles

1978-01-01
Bruno Poizat

Malaise et Guerison

1986-01-01
Bruno Poizat

Missionary mathematics

1988-03-01
Bruno Poizat
Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit … Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit rien au mathématicien; il n’y reconnait pas son activité favorite, ni ne croit qu’elle puisse avoir une influence sur sa pratique. L’illustration la plus extrême de cette tradition, ce sont les “reverse mathematics” de Harvey Friedman, qui connaissent le succès que l’on sait. Je veux parler ici d’une tendance toute opposée, secrétée par les développements contemporains de la théorie des modèles, qui promet des positions beaucoup plus directes. Elle se cristalise autour de l’étude des groupes stables; l’apparition de groupes n’a rien d’inattendu dans un contexte mathématiquement signifiant: un groupe, c’est ce qui garantit une structure non-triviale (ceci n’est pas un simple argument terroriste: il y a des théoremes pour le soutenir); quant à la stabilité, c’est une hypothèse de controle structurel, au large champ d’application, et qu’on pourra dépasser quand seront résolus les problèmes posés dans le cadre stable.

Quelques modestes compléments aux travaux de Messieurs Mark DeBonis, Franz Delahan, David Epstein et Ali Nesin sur les groupes de Frobenius de rang de Morley fini

2024-04-30
Bruno Poizat
This paper casts a new look on the works of Ali Nesin and his team concerning Frobenius groups of finite Morley rank, in particular those which have an involution in … This paper casts a new look on the works of Ali Nesin and his team concerning Frobenius groups of finite Morley rank, in particular those which have an involution in their complement, or are pseudo-locally finite, or are connected.Ce papier procède à un réexamen des travaux de l'équipe d'Ali Nesin sur les groupes de Frobenius de rang de Morley fini, en particulier sur ceux qui ont une involution dans leur complément, ceux qui sont pseudo-localement finis, et ceux qui sont connexes.Nous dirons que deux sous-groupes du groupe F sont disjoints si leur intersection est réduite à l'élément neutre, et qu'un sous-groupe T propre de F (c'est-à-dire différent de {1} et de F) est malnormal s'il est autonormalisant et disjoint de ses conjugués.Cela signifie que, pour tout a hors de T, T ∩ aTa -1 = {1}, ou encore que, dans l'action de F sur ses classes à gauche modulo T, le fixateur de deux points distincts est toujours réduit à l'identité.
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The Language Associated with a Relation

2000-01-01
Bruno Poizat

An arithmetical view to first-order logic

2009-07-11
Seyed Mohammad Bagheri , Bruno Poizat , Massoud Pourmahdian

Une dualité entre fonctions booléennes

2010-04-26
Bruno Poizat
Résumé Si k est un corps fini, toute fonction f ( x 1 , … , x m ) de {0, 1} m dans k s'écrit de manière unique comme … Résumé Si k est un corps fini, toute fonction f ( x 1 , … , x m ) de {0, 1} m dans k s'écrit de manière unique comme un polynôme, à coefficients dans k , de degré un ou zéro en chacune de ses variables ; on peut donc lui associer une fonction f *( x 1 , … , x m ), sa duale inverse, qui exprime les coefficients de son polynôme canonique. Nous considérons l'improbable hypothèse que la classe P ( k ), formée des suites de fonctions calculables en un nombre d'opérations (additions et multiplications) de croissance polynomialement bornée, soit close par dualité ; nous montrons qu'elle équivaut à une hypothèse bien connue en Théorie de la Complexité sous le nom de P = # pP , où p est la caractéristique de k . Dans une première section, nous exposons ce résultat lorsque k = ℤ/2ℤ, c'est-à-dire dans le cadre des calculs booléens classiques ; sa démonstration évite l'emploi d'un polynôme universel comme le hamiltonien : ses ingrédients sont d'une part la réduction parcimonieuse des circuits aux termes, et d'autre part la constatation que les expressions arithmétiques ont une duale très facile à calculer. Dans la deuxième section, nous traitons le cas général, en introduisant une classe SP ( k ) obtenue par sommation à partir de la classe P ( k ) ; nous vérifierons dans la quatrième section l'équivalence des hypothèses SP ( k ) = P ( k ) et # pP = P . Nous y définissons également une notion de transformation, dont la dualité est un cas particulier. Les transformations forment un groupe isomorphe à GL 2 ( k ), avec un sous-groupe B ( k ) de transformations que nous qualifions de bénignes, car elles n'ont que peu d'effet sur la complexité des fonctions ; nous montrons que toutes les transformations non-bénignes ont à peu près la même influence sur la complexité des fonctions, sauf si k = F 3 ou k = F 5 ; dans ces deux cas exceptionnels, la transformation de Fourier joue un rôle particulier. Dans la troisième section, nous considérons des fonctions de k m dans k ; nous n'y trouvons pas des classes de complexité vraiment nouvelles, mais seulement un groupe de transformations plus riche. La quatrième section introduit l'égalité # P = P dans le paysage ; quant à la cinquième et dernière, elle examine le lien entre nos résultats et ceux de Guillaume Malod concernant la clôture par fonction-coefficient de diverses classes de complexité pour le calcul des polynômes à la manière de Valiant. Nous nous sommes efforcés de rédiger cet article de manière à ce qu'il puisse être lu par des personnes non spécialisées en algorithmie.

Saharon Shelah. The number of non-isomorphic models of an unstable first-order theory. Israel journal of mathematics, t. 9 (1971), p. 473–487.

1982-06-01
Bruno Poizat
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The Back-and-Forth Method in ω-Saturated Models

2000-01-01
Bruno Poizat

Malod and the Pascaline

2014-01-01
Bruno Poizat

Saharon Shelah. Differentially closed fields. Israel journal of mathematics, t. 16 (1973), p. 314–328.

1987-09-01
Bruno Poizat
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Saharon Shelah. Differentially closed fields. Israel journal of mathematics, t. 16 (1973), p. 314–328.

1987-09-01
Bruno Poizat

Generics. The reconstruction of a stable group from its generic fragments

2001-05-01
Bruno Poizat

Structure. Model-theoretic analysis of groups of finite Morley rank

2001-05-01
Bruno Poizat

La conjecture d’algébricité, dans une perspective historique, et surtout modèle-théorique

2024-07-19
Bruno Poizat

Quelques modestes compléments aux travaux de Messieurs Mark DeBonis, Franz Delahan, David Epstein et Ali Nesin sur les groupes de Frobenius de rang de Morley fini

2024-04-30
Bruno Poizat
This paper casts a new look on the works of Ali Nesin and his team concerning Frobenius groups of finite Morley rank, in particular those which have an involution in … This paper casts a new look on the works of Ali Nesin and his team concerning Frobenius groups of finite Morley rank, in particular those which have an involution in their complement, or are pseudo-locally finite, or are connected.Ce papier procède à un réexamen des travaux de l'équipe d'Ali Nesin sur les groupes de Frobenius de rang de Morley fini, en particulier sur ceux qui ont une involution dans leur complément, ceux qui sont pseudo-localement finis, et ceux qui sont connexes.Nous dirons que deux sous-groupes du groupe F sont disjoints si leur intersection est réduite à l'élément neutre, et qu'un sous-groupe T propre de F (c'est-à-dire différent de {1} et de F) est malnormal s'il est autonormalisant et disjoint de ses conjugués.Cela signifie que, pour tout a hors de T, T ∩ aTa -1 = {1}, ou encore que, dans l'action de F sur ses classes à gauche modulo T, le fixateur de deux points distincts est toujours réduit à l'identité.
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Back and Forth in Positive Logic

2022-01-01
Bruno Poizat , A.R. Yeshkeyev

SYMÉTRIES ET TRANSVEXIONS, PRINCIPALEMENT DANS LES GROUPES DE RANG DE MORLEY FINI SANS INVOLUTIONS

2021-06-07
Bruno Poizat
Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans … Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans involutions; en effet, cette démonstration consiste en la construction d'un espace symétrique de dimension deux (“un plan”), puis à montrer que ce plan ne peut exister. Aux sous-espaces symétriques définissables de ces groupes sont associées des symétries et des transvexions, qu'on entreprend d'étudier ici dans l'abstrait, sans référence à un groupe qui les enveloppe; cela nous mène à considérer des structures introduites axiomatiquement que nous appelons symétrons (plutôt qu' ensembles symétriques diadiques, comme les ont nommées Lawson &amp; Lim 2004). Le $Z^*$ -Theorem de Glauberman permet d'élucider complètement la structure des symétrons finis: chacun est isomorphe à l'ensemble des symétries associées à un sous-espace symétrique d'un groupe fini sans involutions, qui est loin d'être uniquement déterminé: de fait, il existe des groupes finis non isomorphes qui ont les mêmes symétries, et aussi des symétrons finis qui ne sont pas isomorphes aux symétries d'un groupe, La situation est plus incertaine dans le cas des symétrons de rang de Morley fini, ou même algébriques, qui sont l'objet d'étude principal de cet article. Mais bien qu'un symétron soit une structure nettement plus faible qu'un groupe, nous pouvons étendre aux symétrons des résultats bien connus à propos des groupes de rang de Morley fini: condition de chaîne, décomposition en composantes connexes, caractérisation des parties définissables génériques, génération elliptique, etc. Ces propriétés sont nouvelles même dans le cas des sous-espaces symétriques d’un groupe, et permettent de court-circuiter les calculs de Frécon dans la construction de son plan paradoxal. En outre, sous l'hypothèse de la Conjecture d'Algébricité, nous généralisons le Théorème de Glauberman au contexte de rang de Morley fini.

Positive Jonsson Theories

2018-03-08
Bruno Poizat , A.R. Yeshkeyev

Milieu et symétrie, une étude de la convexité dans les groupes sans involutions

2017-10-26
Bruno Poizat

Indépendance et liberté

2016-12-19
Bruno Poizat

Supergeneric Equations

2016-11-01
Bruno Poizat

Comments on a Theorem by Olivier Frécon

2016-01-01
Bruno Poizat , Frank Olaf Wagner
There is no sad group of Morley rank 2n + 1 with an abelian Borel subgroup of rank n. In particular, Fr{é}con's Theorem follows: There is no bad group of … There is no sad group of Morley rank 2n + 1 with an abelian Borel subgroup of rank n. In particular, Fr{é}con's Theorem follows: There is no bad group of Morely rank 3.
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Supergénérix

2014-02-01
Bruno Poizat
Etant donné un sous-groupe G d'un groupe Γ stable (au sens modèle-théorique), et en particulier quand Γ est un groupe de rang de Morley fini, les traces sur G des … Etant donné un sous-groupe G d'un groupe Γ stable (au sens modèle-théorique), et en particulier quand Γ est un groupe de rang de Morley fini, les traces sur G des sous-ensembles définissables de Γ ont une propriété remarquable : si la clôture définissable de G est connexe, elles sont soit supergénériques, soit de complémentaire supergénérique, au sens de la définition donnée au tout début de cet article. Un exemple de cette situation est fourni par les groupes linéaires : pour un certain n, G est un sous-groupe de Γ=GLn(K), où K est un corps qu'on peut supposer algébriquement clos ; les ensembles définissables au sens de GLn(K) sont alors ses parties constructibles, c-à-d les combinaisons booléennes d'un nombre fini de ses fermés de Zariski. Quel que soit le groupe G, ses parties supergénériques forment un filtre de gros ensembles, qui, à ce qu'il me semble, est défini ici pour la première fois. Cet article est une amorce de l'étude de la supergénéricité dans un cadre général, sans aucune hypothèse de nature modèle-théorique, mais avec une attention spéciale portée aux propriétés de généricité bien particulières que possèdent les parties définissables d'un groupe stable. Sa lecture ne demande aucune connaissance en Logique, si on est prêt à faire l'impasse sur les démonstrations des théorèmes établissant que ces ensembles ont bien ces propriétés. Given a subroup G of a stable (in the model-theoric sense) group Γ, in particular when Γ is a group of finite Morley rank, the traces on G of the definable subsets of Γ have a remarkable property: if the definable closure of G is connected, they are either supergeneric, or supergenerically complemented, in the sense of the definition given at the very beginning of this paper. An example of this situation is provided by the linear groups: for some n, G is a subgroup of Γ=GLn(K), where K is a field that we may take algebraically closed; the definable sets in the sense of GLn(K) are its constructible subsets, i.e. the boolean combinations of a finite number of its Zariski closed subsets. For any group G, the supergeneric subsets of G form a filter of large sets, which, to my best knowledge, is defined here for the first time. This paper undertakes the study of supergenericity in a general context, with no hypotheses of a model-theoric nature, but with a special attention given to the very specific properties of genericity possessed by the definable subsets of a stable group. It can be read without any knowledge of Logic, provided that one is ready to skip the proofs of the theorems showing precisely that these definable sets have these properties.

Malod and the Pascaline

2014-01-01
Bruno Poizat

Une dualité entre fonctions booléennes

2010-04-26
Bruno Poizat
Résumé Si k est un corps fini, toute fonction f ( x 1 , … , x m ) de {0, 1} m dans k s'écrit de manière unique comme … Résumé Si k est un corps fini, toute fonction f ( x 1 , … , x m ) de {0, 1} m dans k s'écrit de manière unique comme un polynôme, à coefficients dans k , de degré un ou zéro en chacune de ses variables ; on peut donc lui associer une fonction f *( x 1 , … , x m ), sa duale inverse, qui exprime les coefficients de son polynôme canonique. Nous considérons l'improbable hypothèse que la classe P ( k ), formée des suites de fonctions calculables en un nombre d'opérations (additions et multiplications) de croissance polynomialement bornée, soit close par dualité ; nous montrons qu'elle équivaut à une hypothèse bien connue en Théorie de la Complexité sous le nom de P = # pP , où p est la caractéristique de k . Dans une première section, nous exposons ce résultat lorsque k = ℤ/2ℤ, c'est-à-dire dans le cadre des calculs booléens classiques ; sa démonstration évite l'emploi d'un polynôme universel comme le hamiltonien : ses ingrédients sont d'une part la réduction parcimonieuse des circuits aux termes, et d'autre part la constatation que les expressions arithmétiques ont une duale très facile à calculer. Dans la deuxième section, nous traitons le cas général, en introduisant une classe SP ( k ) obtenue par sommation à partir de la classe P ( k ) ; nous vérifierons dans la quatrième section l'équivalence des hypothèses SP ( k ) = P ( k ) et # pP = P . Nous y définissons également une notion de transformation, dont la dualité est un cas particulier. Les transformations forment un groupe isomorphe à GL 2 ( k ), avec un sous-groupe B ( k ) de transformations que nous qualifions de bénignes, car elles n'ont que peu d'effet sur la complexité des fonctions ; nous montrons que toutes les transformations non-bénignes ont à peu près la même influence sur la complexité des fonctions, sauf si k = F 3 ou k = F 5 ; dans ces deux cas exceptionnels, la transformation de Fourier joue un rôle particulier. Dans la troisième section, nous considérons des fonctions de k m dans k ; nous n'y trouvons pas des classes de complexité vraiment nouvelles, mais seulement un groupe de transformations plus riche. La quatrième section introduit l'égalité # P = P dans le paysage ; quant à la cinquième et dernière, elle examine le lien entre nos résultats et ceux de Guillaume Malod concernant la clôture par fonction-coefficient de diverses classes de complexité pour le calcul des polynômes à la manière de Valiant. Nous nous sommes efforcés de rédiger cet article de manière à ce qu'il puisse être lu par des personnes non spécialisées en algorithmie.

Groups of small Cantor rank

2010-01-25
Bruno Poizat
Les groupes de rang de Morley fini satisfont des conditions extraordinairement favorables d'additivité et de définissabilité du rang, ainsi que des propriétés de généricité optimales, et pourtant leur étude pose … Les groupes de rang de Morley fini satisfont des conditions extraordinairement favorables d'additivité et de définissabilité du rang, ainsi que des propriétés de généricité optimales, et pourtant leur étude pose des problèmes sérieux dès le rang trois, comme il a été montré dans un célèbre article de Gregory Cherlin [Cherlin, 1979]. Nous allons ici étendre les résultats de Cherlin au contexte plus acrobatique du rang de Cantor; il nous faudra remplacer les arguments reposant sur des propriétés générales du rang de Morley par des considérations ad hoc, qui ne fonctionnent que parce que les petits rangs ne laissent pas beaucoup de place, et les arguments de généricité, qui reposent en dernière analyse sur la symétrie de la déviation, par des propriétés de symétrie spécifiques aux ensembles auxquels ils sont appliqués. Nous invitons notre lecteur à considérer cet article, qui ne fait que démontrer péniblement des résultats d'intérêt anecdotique, comme une méditation sur la force cachée des axiomes introduits dans la préface de [Poizat, 1987].

Quelques effets pervers de la positivité

2009-07-20
Bruno Poizat

An arithmetical view to first-order logic

2009-07-11
Seyed Mohammad Bagheri , Bruno Poizat , Massoud Pourmahdian

Quelques tentatives de définir une notion générale de groupes et de corps de dimension un et de déterminer leurs propriétés algébriques

2009-05-22
Bruno Poizat
We make some attempts to define a general notion of groups and fields of dimension one, and to determine their algebraic properties. We make some attempts to define a general notion of groups and fields of dimension one, and to determine their algebraic properties.
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Liaisons linéaires entre racines de l'unité en caractéristique non nulle

2005-11-23
Bruno Poizat , François Gramain

Sous-groupes superstables de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">SL</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> et de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">PSL</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="…

2005-06-10
Yerulan Mustafin , Bruno Poizat

La limite des theories de courbes generiques

2002-03-01
Olivier Chapuis , Ehud Hrushovski , Pascal Koiran +1 more
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Generics. The reconstruction of a stable group from its generic fragments

2001-05-01
Bruno Poizat

Structure. Model-theoretic analysis of groups of finite Morley rank

2001-05-01
Bruno Poizat

Geometry. Introduction to algebraic groups

2001-05-01
Bruno Poizat

Fields. Algebraic properties of groups of finite Morley rank

2001-05-01
Bruno Poizat

Chain. The chain condition for stable groups

2001-05-01
Bruno Poizat

Stable Groups

2001-05-01
Bruno Poizat

Liftez les sylows! Une suite à “Sous-groupes périodiques d'un groupe stable”

2000-06-01
Bruno Poizat , Frank Olaf Wagner
Abstract If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H , then the Sylow-2-subgroups G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G . Zusammenfassung. Sei G … Abstract If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H , then the Sylow-2-subgroups G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G . Zusammenfassung. Sei G eine omega-stabile Gruppe und H ein definierbarer Normalteiler von G . Dann sind die Sylow-2-Untergruppen von G/H Bilder der Sylow-2-Untergruppen von G .
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Ordinals and Cardinals

2000-01-01
Bruno Poizat

The Language Associated with a Relation

2000-01-01
Bruno Poizat

Une tentative malheureuse de construire une structure éliminant rapidement les quanteurs

2000-01-01
Bruno Poizat

The Back-and-Forth Method in ω-Saturated Models

2000-01-01
Bruno Poizat

Autour du Théorème de Morley

2000-01-01
Bruno Poizat

Forking

2000-01-01
Bruno Poizat

Special Sons, Morley Sequences

2000-01-01
Bruno Poizat

Paires de structures O-minimales

1998-06-01
Yerzhan Baisalov , Bruno Poizat
Resumo Ni montras propecon de el j eteco de la kvantoro (∃y ∈ M ) pri la (sufi c e) belaj paroj de modeloj de una O -plimalpova teorio. G … Resumo Ni montras propecon de el j eteco de la kvantoro (∃y ∈ M ) pri la (sufi c e) belaj paroj de modeloj de una O -plimalpova teorio. G i havas korolaron ke, se ni aldonas malkavajn unarajn predikatojn a la lingvo de kelka O -plimalpova strukturo, ni ricevas malforte O -plimalpovan strukturon. Tui c i rezultato estis en speciala kaso pruvita de [5], kaj la g ia g eneralize c o estis anoncita en [1].

Liftez les Sylows! Une suite à ``Sous-groupes periodiques d'un groupe stable''

1998-01-01
Bruno Poizat , Frank Olaf Wagner
If $G$ is an omega-stable group with a normal definable subgroup $H$, then the Sylow-$2$-subgroups of $G/H$ are the images of the Sylow-$2$-subgroups of $G$. If $G$ is an omega-stable group with a normal definable subgroup $H$, then the Sylow-$2$-subgroups of $G/H$ are the images of the Sylow-$2$-subgroups of $G$.

Polygones

1995-01-01
T. G. Mustafin , Bruno Poizat
Abstract We study the class of structures formed by all the polygons over a given monoid, which is equivalent to the study of the varieties in a language containing only … Abstract We study the class of structures formed by all the polygons over a given monoid, which is equivalent to the study of the varieties in a language containing only unary functions. We collect and amplify previous results concerning their stability and superstability. Then we characterize the regular monoids for which all these polygons are ω‐stable; the question about the existence of a non regular monoid with this property is left open.

Sous-groupes periodiques d'un groupe stable

1993-06-01
Bruno Poizat , Frank Olaf Wagner
Abstract We develop a Sylow theory for stable groups satisfying certain additional conditions (2- finiteness, solvability or smallness) and show that their maximal p -subgroups are locally finite and conjugate. … Abstract We develop a Sylow theory for stable groups satisfying certain additional conditions (2- finiteness, solvability or smallness) and show that their maximal p -subgroups are locally finite and conjugate. Furthermore, we generalize a theorem of Baer-Suzuki on subgroups generated by a conjugacy class of p -elements.

Tores et <i>p</i>-groupes

1990-06-01
Alexandre Borovik , Bruno Poizat
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A group in a group

1990-05-01
David M. Evans , Anand Pillay , Bruno Poizat

Des belles paires aux beaux uples

1988-06-01
Élisabeth Bouscaren , Bruno Poizat
Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de … Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de p , et qui n'est pas une simple variable, on a, pour tous a 1 ,…, a n de M , t(a 1 ,… a n ) ≠ a 1 ; toutes ces “fonctions-paires” sont élémentairement équivalentes, à condition, bien sûr, que l'ensemble M soit non vide, et leur théorie (parfois traduite dans un autre langage) a été considérée par divers auteurs. Ainsi, A. Mal'cev [Mal'cev 1962] a décrit toutes les théories d'algèbre localement libres, associées à un langage fonctionnel arbitraire; O. Belegradek [Belegradek] a étudié dans le détail leurs propriétés de stabilité; F. Lucas [Lucas 1978] avait également considéré des fonctions-paires localement libres; c'est encore une fonction-paire qui a été utilisée par J. F. Pabion [Pabion 1982], pour ω 1 -saturer, mais pas davantage, les modèles de l'Arithmétique; il a été remarqué, dans [Poizat 1984], combien il était utile pour cela de disposer d'une théorie non superstable sans propriété de recouvrement fini; dans un tout autre contexte, et pour de tout autres raisons, cette théorie de fonctions-paires a également été utilisée dans [Poizat 1986]; tous ces emplois supposent qu'on y maîtrise bien l'élimination des quanteurs.

Des belles paires aux beaux uples

1988-06-01
Élisabeth Bouscaren , Bruno Poizat
Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de … Une bijection p de M 2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x 1 ,…, x n ) formé à partir de p , et qui n'est pas une simple variable, on a, pour tous a 1 ,…, a n de M , t(a 1 ,… a n ) ≠ a 1 ; toutes ces “fonctions-paires” sont élémentairement équivalentes, à condition, bien sûr, que l'ensemble M soit non vide, et leur théorie (parfois traduite dans un autre langage) a été considérée par divers auteurs. Ainsi, A. Mal'cev [Mal'cev 1962] a décrit toutes les théories d'algèbre localement libres, associées à un langage fonctionnel arbitraire; O. Belegradek [Belegradek] a étudié dans le détail leurs propriétés de stabilité; F. Lucas [Lucas 1978] avait également considéré des fonctions-paires localement libres; c'est encore une fonction-paire qui a été utilisée par J. F. Pabion [Pabion 1982], pour ω 1 -saturer, mais pas davantage, les modèles de l'Arithmétique; il a été remarqué, dans [Poizat 1984], combien il était utile pour cela de disposer d'une théorie non superstable sans propriété de recouvrement fini; dans un tout autre contexte, et pour de tout autres raisons, cette théorie de fonctions-paires a également été utilisée dans [Poizat 1986]; tous ces emplois supposent qu'on y maîtrise bien l'élimination des quanteurs.

MM. Borel, Tits, Zil′ber et le Général Nonsense

1988-03-01
Bruno Poizat
Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème … Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles. Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie. Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.

Missionary mathematics

1988-03-01
Bruno Poizat
Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit … Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit rien au mathématicien; il n’y reconnait pas son activité favorite, ni ne croit qu’elle puisse avoir une influence sur sa pratique. L’illustration la plus extrême de cette tradition, ce sont les “reverse mathematics” de Harvey Friedman, qui connaissent le succès que l’on sait. Je veux parler ici d’une tendance toute opposée, secrétée par les développements contemporains de la théorie des modèles, qui promet des positions beaucoup plus directes. Elle se cristalise autour de l’étude des groupes stables; l’apparition de groupes n’a rien d’inattendu dans un contexte mathématiquement signifiant: un groupe, c’est ce qui garantit une structure non-triviale (ceci n’est pas un simple argument terroriste: il y a des théoremes pour le soutenir); quant à la stabilité, c’est une hypothèse de controle structurel, au large champ d’application, et qu’on pourra dépasser quand seront résolus les problèmes posés dans le cadre stable.

MM. Borel, Tits, Zil′ber et le Général Nonsense

1988-03-01
Bruno Poizat
Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème … Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles. Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie. Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.

Missionary mathematics

1988-03-01
Bruno Poizat
Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit … Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit rien au mathématicien; il n’y reconnait pas son activité favorite, ni ne croit qu’elle puisse avoir une influence sur sa pratique. L’illustration la plus extrême de cette tradition, ce sont les “reverse mathematics” de Harvey Friedman, qui connaissent le succès que l’on sait. Je veux parler ici d’une tendance toute opposée, secrétée par les développements contemporains de la théorie des modèles, qui promet des positions beaucoup plus directes. Elle se cristalise autour de l’étude des groupes stables; l’apparition de groupes n’a rien d’inattendu dans un contexte mathématiquement signifiant: un groupe, c’est ce qui garantit une structure non-triviale (ceci n’est pas un simple argument terroriste: il y a des théoremes pour le soutenir); quant à la stabilité, c’est une hypothèse de controle structurel, au large champ d’application, et qu’on pourra dépasser quand seront résolus les problèmes posés dans le cadre stable.

Saharon Shelah. Differentially closed fields. Israel journal of mathematics, t. 16 (1973), p. 314–328.

1987-09-01
Bruno Poizat
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Saharon Shelah. Differentially closed fields. Israel journal of mathematics, t. 16 (1973), p. 314–328.

1987-09-01
Bruno Poizat

Pas d'imaginaires dans l'infini!

1987-06-01
Anand Pillay , Bruno Poizat
Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation … Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation d'équivalence E , infiniment définissable dans un modèle M d'une théorie stable T , était conjonction de relations d'équivalence définissables. Nous allons voir ici que c'est presque exact: c'est vrai si T est totalement transcendante, et, dans le cas général de stabilité E a toujours un raffinement E 1 (plus précisément, E 1 est la conjonction de E et de la relation “ x et y ont même type”) qui a cette propriété; cela montre que cette relation E n'introduit pas d'imaginaires d'une nature vraiment différente de celle des imaginaires de Shelah: dans une théorie stable, un imaginaire infinitaire n'est rien d'autre qu'un ensemble d'imaginaires finis. La démonstration du théorème principal de cette note s'appuie lourdement sur la construction M eq de Shelah, la machinerie de la déviation, les paramètres imaginaires canoniques pour la définition d'un type stable, etc…. Pour tout cela, les références adéquates sont Shelah [1978], Pillay [1983], et Poizat [1985, Chapitre 16]. Nouscommençons par préciser ce que nous entendons par “relation d'équivalence infiniment définissable”: une collection de formules e( , ȳ ), et ȳ étant de longueur n , telle que, pour tout modèle M de T , les couples ( , ȳ ) qui les satisfont toutes forment une rélation d'équivalence E .

Malaise et Guerison

1986-01-01
Bruno Poizat

Deux remarques à propos de la propriété de recouvrement fini

1984-09-01
Bruno Poizat
Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de … Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de Keisler. Je rappelle seulement ici que: a) La définition originale est la suivante: une théorie complète T n'a pas la p.r.f. si à toute formule f(x, ȳ) de son langage est associé un entier n , de sorte que tout ensemble (fini!) { f(x, ā 1 ), …, f(x, ā s )}, où les ā i ; sont des paramètres extraits d'un modèle M de T , soit consistant dès que ses parties à n éléments le sont. Une théorie sans p.r.f. satisfait done un renforcement du théorème de compacité; elle est en ce sens plus simple qu'une théorie avec p.r.f. b) T n'a pas la p.r.f. si et seulement si elle est stable (i.e. tout type sur un modèle M de T est définissable; à toute formule f(x, ȳ) est associée une formule g(ȳ, ā) à paramètres dans M , telle que les de M pour lesquels f(x , ) est dans le type en question soient précisément ceux qui vérifient g(ȳ, ā)) , et si en outre on peut exprimer par une formule sur le paramètre ā que g(ȳ, ā) définit un f -type consistant: à f 1 ( x, ȳ ), …, f s (x, ȳ) , g 1 ( ȳ , ), …, g s ( ȳ , ) est associé une formule h ( ), telle que pour tout ā de tout modèle M de T, ā satisfasse h si et seulement si l'ensemble de tous les f i ( x , ), où est dans M et satisfait g i (ȳ, ā) , est consistant.
Coauthor Papers Together
Frank Olaf Wagner 4
Élisabeth Bouscaren 2
A.R. Yeshkeyev 2
Anand Pillay 2
Yerulan Mustafin 1
Massoud Pourmahdian 1
T. G. Mustafin 1
Daniel Lascar 1
David M. Evans 1
Seyed Mohammad Bagheri 1
Pascal Koiran 1
François Gramain 1
Alexandre Borovik 1
Yerzhan Baisalov 1
Olivier Chapuis 1
Ehud Hrushovski 1

Groups of small Morley rank

1979-11-01
Gregory Cherlin

Groups of Finite Morley Rank

1994-12-01
Alexandre Borovik , Ali Nesin
Abstract The book is devoted to the theory of groups of finite Morley rank. These groups arise in model theory and generalize the concept of algebraic groups over algebraically closed … Abstract The book is devoted to the theory of groups of finite Morley rank. These groups arise in model theory and generalize the concept of algebraic groups over algebraically closed fields. The book contains almost all the known results in the subject. Trying to attract pure group theorists in the subject and to prepare the graduate student to start the research in the area, the authors adopted an algebraic and self evident point of view rather than a model theoretic one, and developed the theory from scratch. All the necessary model theoretical and group theoretical notions are explained in length. The book is full of exercises and examples and one of its chapters contains a discussion of open problems and a program for further research.

Fondements de la logique positive

2007-12-01
Itaï Ben Yaacov , Et Bruno Poizat
Résumé We revisit the foundations of positive model theory, introducing h-inductive sentences . These allow a considerably simplified presentation of positive model theory, as well as a characterisation of Hausdorffcats … Résumé We revisit the foundations of positive model theory, introducing h-inductive sentences . These allow a considerably simplified presentation of positive model theory, as well as a characterisation of Hausdorffcats by an amalgamation property of their h -inductive theory.

Superstable groups

1986-01-01
Ch. Berline , Daniel Lascar

BAD FIELDS IN POSITIVE CHARACTERISTIC

2003-06-09
Frank Olaf Wagner
If there are infinitely many p-Mersenne prime numbers, there is no bad field of positive characteristic p. 2000 Mathematics Subject Classification 03C45, 03C60. If there are infinitely many p-Mersenne prime numbers, there is no bad field of positive characteristic p. 2000 Mathematics Subject Classification 03C45, 03C60.

Fields of finite Morley rank

2001-06-01
Frank Olaf Wagner
Abstract If K is a field of finite Morley rank, then for any parameter set A ⊆ K eq the prime model over A is equal to the model-theoretic algebraic … Abstract If K is a field of finite Morley rank, then for any parameter set A ⊆ K eq the prime model over A is equal to the model-theoretic algebraic closure of A . A field of finite Morley rank eliminates imaginaries. Simlar results hold for minimal groups of finite Morley rank with infinite acl(∅).

On $ω_1$-categorical theories of fields

1971-01-01
Angus Macintyre
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Superstable groups; a partial answer to conjectures of cherlin and zil'ber

1986-01-01
Ch. Berline

Ranks and definability in superstable theories

1976-03-01
Daniel Lascar

Non-solvable groups of Morley rank 3

1989-07-01
Ali Nesin

Superstable fields and groups

1980-08-01
Gregory Cherlin , Saharon Shelah

Some model theory of simple algebraic groups over algebraically closed fields

1984-01-01
Boris Zilber
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Paires de structures stables

1983-06-01
Bruno Poizat
Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T ′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec … Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T ′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec en outre un symbole relationnel unaire interprétant un de ses sous-corps propres algébriquement clos. C'est à l'éclaircissement des rapports de T et de T ′ qu'est consacré cet article. J'y considère une théorie complète T stable, et les structures formées d'un modèle N de T, avec en outre un symbole relationnel unaire ( x ) interprétant une restriction élémentaire M de N ; j'appelle ces structures paires de modèles de T . Et je dis que la paire ( N, M ) est belle si d'une part M est ∣ T ∣ + -saturé, et d'autre part pour tout n -uplet ā d'éléments de N , tout type, au sens de T , sur M ⋃ {α} est réalisé dans N . Le premier résultat (Théorème 4) est que deux belles paires sont élémentairement équivalentes. Plus précisément, si ( N 1 , M 1 ) et ( N 2 , M 2 ) sont deux belles paires, et si ā est dans la première, b¯ dans la seconde, le fait que le type de ā sur M 1 et celui de b¯ sur M 2 soient équivalents dans l'ordre fondamental au sens de T suffit (et est bien sûr nécessaire) pour que ā at b¯ aient même type (sur ⊘) au sens de la théorie T ′ des belles paires.

Die böse Farbe

2007-12-11
Andreas Baudisch , Martin Hils , Amador Martín-Pizarro +1 more
Zusammenfassung Wir konstruieren einen schlechten Körper der Charakteristik Null. Mit anderen Worten, wir konstruieren einen algebraisch abgeschlossenen Körper mit einem Dimensionsbegriff analog der Zariski-Dimension, zusammen mit einer unendlichen echten multiplikativen … Zusammenfassung Wir konstruieren einen schlechten Körper der Charakteristik Null. Mit anderen Worten, wir konstruieren einen algebraisch abgeschlossenen Körper mit einem Dimensionsbegriff analog der Zariski-Dimension, zusammen mit einer unendlichen echten multiplikativen Untergruppe der Dimension Eins, so daβ der Körper selbst Dimension Zwei hat. Dies beantwortet eine alte Frage von Zilber.
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On Algebraic Groups of Transformations

1955-04-01
André Weil

Linear Algebraic Groups

1975-01-01
James E. Humphreys

Simple groups of Morley rank 3 are algebraic

2017-10-18
Olivier Frécon
There exists no bad group (in the sense of Gregory Cherlin); namely, any simple group of Morley rank 3 is isomorphic to<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="PSL Subscript 2 Baseline left-parenthesis upper … There exists no bad group (in the sense of Gregory Cherlin); namely, any simple group of Morley rank 3 is isomorphic to<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="PSL Subscript 2 Baseline left-parenthesis upper K right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mtext>PSL</mml:mtext></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {PSL}_2(K)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>for an algebraically closed field<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"><mml:semantics><mml:mi>K</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>.
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Milieu et symétrie, une étude de la convexité dans les groupes sans involutions

2017-10-26
Bruno Poizat

Elimination of quantifiers for modules

1976-03-01
Walter Bäur

Singular properties of Morley rank

1980-01-01
A. H. Lachlan
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Saturated models of Peano arithmetic

1982-09-01
J.-F. Pabion
Abstract We study reducts of Peano arithmetic for which conditions of saturation imply the corresponding conditions for the whole model. It is shown that very weak reducts (like pure order) … Abstract We study reducts of Peano arithmetic for which conditions of saturation imply the corresponding conditions for the whole model. It is shown that very weak reducts (like pure order) have such a property for κ -saturation in every κ ≥ ω 1 . In contrast, other reducts do the job for ω and not for κ &gt; ω 1 . This solves negatively a conjecture of Chang.

Bad groups of finite Morley rank

1989-09-01
Luis Jaime Corredor
Abstract We prove the following theorem. Let G be a connected simple bad group (i.e. of finite Morley rank, nonsolvable and with all the Borel subgroups nilpotent) of minimal Morley … Abstract We prove the following theorem. Let G be a connected simple bad group (i.e. of finite Morley rank, nonsolvable and with all the Borel subgroups nilpotent) of minimal Morley rank. Then the Borel subgroups of G are conjugate to each other, and if B is a Borel subgroup of G , then , N G (B) = B , and G has no involutions.

Minimal fields

2000-12-01
Frank Olaf Wagner
Abstract A minimal field of non-zero characteristic is algebraically closed. Abstract A minimal field of non-zero characteristic is algebraically closed.

A proof of vaught’s conjecture forω-stable theories

1984-09-01
Saharon Shelah , Louise Harrington , Michael Makkai

Some Basic Theorems on Algebraic Groups

1956-04-01
Maxwell Rosenlicht
The subject of algebraic groups has had a rapid development in recent years. Leaving aside the late research by many people on the Albanese and Picard variety, it has received … The subject of algebraic groups has had a rapid development in recent years. Leaving aside the late research by many people on the Albanese and Picard variety, it has received much substance and impetus from the work of Severi on commutative algebraic groups over the complex number field, that of Kolchin, Chevalley, and Borel on algebraic groups of matrices, and especially Weil's research on abelian varieties and algebraic transformation spaces. The main purpose of the present paper is to give a more or less systematic account of a large part of what is now known about general algebraic groups, which may be abelian varieties, algebraic groups of matrices, or actually of neither of these types.

The classification of the simple periodic linear groups

1983-08-01
Simon Thomas

Sous-groupes définissables d'un groupe stable

1981-03-01
Bruno Poizat
On sait, depuis les travaux de Zil'ber et de Cherlin, que le degré de Morley de la théorie T d'un groupe G totalement transcendant est l'indice du plus petit sous-groupe … On sait, depuis les travaux de Zil'ber et de Cherlin, que le degré de Morley de la théorie T d'un groupe G totalement transcendant est l'indice du plus petit sous-groupe définissable d'indice fini de G . Il est clair qu'il lui est supérieur, et l'inégalité inverse peut s'obtenir de la manière suivante: on fait agir G sur les types de S 1 ( G ) de rang de Morley maximum en associant à p , type de x au-dessus de G , le type ap de ax au-dessus de G ; on montre alors que cette action est définissable, que le fait que ap = q équivaut au fait que a satisfasse une certaine formule à paramètres dans G , ce qui est bien facile si on n'oublie pas que dans une théorie stable tous les types sont définissables; on montre ensuite que cette action est transitive, que si p et q sont de rang de Morley maximum il existe a dans G tel que ap = q , et la méthode la plus rapide, mais qui est aussi la plus sophistiquée, est d'utiliser l'argument de symétrie de la déviation employé dans la preuve de la Proposition 1 de présent article; on conclut alors puisque le degré de Morley, qui est par définition le nombre de types de rang de Morley maximum, ést egal à l'indice du stabilisateur de p , qui est définissable. Ce comportement des types de rang de Morely maximum se retrouve sans peine, si G est seulement superstable, dans celui des types de “plus petit rang continu” (encore appellé “degré de Shelah”) maximum. Pour trouver ce qui leur correspond dans le cas où G est seulement stable, il faut être un peu plus soigneux, et considérer les types p de S 1 ( G ), où G aura éventuellement été remplacé par une extension élémentaire suffisament saturée, tels que pour tout a de G ap ne dévie pas sur ∅: on montre qu'ils existent, et qu'ils sont tous conjugués par action de G ; le fait que ap = q s'exprimera cette fois par une infinité de formules et non plus par une seule.

POSITIVE MODEL THEORY AND COMPACT ABSTRACT THEORIES

2003-05-01
Itay Ben-Yaacov
We develop positive model theory, which is a non first order analogue of classical model theory where compactness is kept at the expense of negation. The analogue of a first … We develop positive model theory, which is a non first order analogue of classical model theory where compactness is kept at the expense of negation. The analogue of a first order theory in this framework is a compact abstract theory: several equivalent yet conceptually different presentations of this notion are given. We prove in particular that Banach and Hilbert spaces are compact abstract theories, and in fact very well-behaved as such.

Tores et <i>p</i>-groupes

1990-06-01
Alexandre Borovik , Bruno Poizat
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Logical stability in group theory

1976-05-01
John T. Baldwin , Jan Saxl
Abstract This paper investigates the logical stability of various groups. Theorem 1: If a group G is stable and locally nilpotent then it is solvable. Theorem 2: Every non-Abelian variety … Abstract This paper investigates the logical stability of various groups. Theorem 1: If a group G is stable and locally nilpotent then it is solvable. Theorem 2: Every non-Abelian variety of groups is unstable.
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Super Stable Division Rings

1978-01-01
Gregory Cherlin

An introduction to forking

1979-09-01
Daniel Lascar , Bruno Poizat
The notion of forking has been introduced by Shelah, and a full treatment of it will appear in his book on stability [S1]. The principal aim of this paper is … The notion of forking has been introduced by Shelah, and a full treatment of it will appear in his book on stability [S1]. The principal aim of this paper is to show that it is an easy and natural notion. Consider some well-known examples of ℵ 0 -stable theories: vector spaces over Q , algebraically closed fields, differentially closed fields of characteristic 0; in each of these cases, we have a natural notion of independence: linear, algebraic and differential independence respectively. Forking gives a generalization of these notions. More precisely, if are subsets of some model and c a point of this model, the fact that the type of c over does not fork over means that there are no more relations of dependence between c and than there already existed between c and . In the case of the vector spaces, this means that c is in the space generated by only if it is already in the space generated by . In the case of differentially closed fields, this means that the minimal differential equations of c with coefficient respectively in and have the same order. Of course, these notions of dependence are essential for the study of the above mentioned structures. Forking is no less important for stable theories. A glance at Shelah's book will convince the reader that this is the case. What we have to do is the following. Assuming T stable and given and p a type on , we want to distinguish among the extensions of p to some of them that we shall call the nonforking extensions of p .

Full Frobenius Groups of Finite Morley Rank and the Feit-Thompson Theorem

2001-09-01
Éric Jaligot
Abstract We show how the notion of full Frobenius group of finite Morley rank generalizes that of bad group, and how it seems to be more appropriate when we consider … Abstract We show how the notion of full Frobenius group of finite Morley rank generalizes that of bad group, and how it seems to be more appropriate when we consider the possible existence (still unknown) of nonalgebraic simple groups of finite Morley rank of a certain type, notably with no involution. We also show how these groups appear as a major obstacle in the analysis of FT -groups, if one tries to extend the Feit-Thompson theorem to groups of finite Morley rank.

Stationary logic of finitely determinate structures

1979-12-01
Paul C. Eklof , Alan H. Mekler

Characterizing Valiant's algebraic complexity classes

2007-04-30
Guillaume Malod , Natacha Portier

Groups of bounded period with subgroups of prime order

1982-09-01
A. Yu. Olshanskii

Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers

1971-06-01
Saharon Shelah

A new uncountably categorical group

1996-01-01
Andreas Baudisch
We construct an uncountably categorical group with a geometry that is not locally modular. It is not possible to interpret a field in this group. We show the group is … We construct an uncountably categorical group with a geometry that is not locally modular. It is not possible to interpret a field in this group. We show the group is CM-trivial.
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A Note on Algebraically Closed Groups

1952-04-01
Bernhard Neumann

Diophantine geometry over groups VIII: Stability

2013-03-06
Zlil Sela
This paper is the eighth in a sequence on the structure of sets of solutions to systems of equations in free and hyperbolic groups, projections of such sets (Diophantine sets), … This paper is the eighth in a sequence on the structure of sets of solutions to systems of equations in free and hyperbolic groups, projections of such sets (Diophantine sets), and the structure of denable sets over free and hyperbolic groups. In this eighth paper we use a modication of the sieve procedure, which was used in proving quantier elimination in the theory of a free group, to prove that free and torsion-free (Gromov) hyperbolic groups are stable. In the
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The spectrum problem I: ℵɛ-satuarted models, the main gap

1982-12-01
Saharon Shelah

Subgroups of stable groups

1990-03-01
Frank Olaf Wagner
Abstract We define the notion of generic for an arbitrary subgroup H of a stable group, and show that H has a definable hull with the same generic properties. We … Abstract We define the notion of generic for an arbitrary subgroup H of a stable group, and show that H has a definable hull with the same generic properties. We then apply this to the theory of stable fields.

Spectra of ω‐Stable Theories

1978-01-01
A. H. Lachlan

SIMPLICITY IN COMPACT ABSTRACT THEORIES

2003-11-01
Itay Ben-Yaacov
We continue [2], developing simplicity in the framework of compact abstract theories. Due to the generality of the context we need to introduce definitions which differ somewhat from the ones … We continue [2], developing simplicity in the framework of compact abstract theories. Due to the generality of the context we need to introduce definitions which differ somewhat from the ones use in first order theories. With these modified tools we obtain more or less classical behaviour: simplicity is characterized by the existence of a certain notion of independence, stability is characterized by simplicity and bounded multiplicity, and hyperimaginary canonical bases exist.
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Equations diophantiennes exponentielles

1984-06-01
Laurent Michel

Complete theories with 1-cardinal formulas

1975-05-01
M. M. Erimbetov

Linear Algebraic Groups

1998-01-01
T. A. Springer
The first edition of this book presented the theory of linear algebraic groups over an algebraically closed field. The second edition, thoroughly revised and expanded, extends the theory over arbitrar The first edition of this book presented the theory of linear algebraic groups over an algebraically closed field. The second edition, thoroughly revised and expanded, extends the theory over arbitrar

Central elements in core-free groups

1966-11-01
George Glauberman

Groups with the minimal condition on centralizers

1979-10-01
R. M. Bryant

Stability, the f.c.p., and superstability; model theoretic properties of formulas in first order theory

1971-10-01
Saharon Shelah